Аналитическая геометрия
Параметрические кривые
Производные, касательные, длины дуг и геометрические свойства кривых, заданных параметром.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Производная параметрической кривой | $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$ | Прямые, плоскости | Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке. |
| Касательная к параметрической кривой | $y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$ | Прямые, плоскости | Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая. |
| Длина дуги параметрической кривой | $L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$ | Прямые, плоскости | Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b. |
| Кривизна параметрической кривой | $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$ | Прямые, плоскости | Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат. |