Аналитическая геометрия
Поверхности второго порядка
Сферы, эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндрические поверхности в пространстве.
10 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Уравнение сферы по центру и радиусу | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R. |
| Сфера по концам диаметра | $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$ | Прямые, плоскости | Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов. |
| Касательная плоскость к сфере | $(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$ | Прямые, плоскости | Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания. |
| Каноническое уравнение эллипсоида | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ | Прямые, плоскости | Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело. |
| Однополостный гиперболоид | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ | Прямые, плоскости | Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами. |
| Двуполостный гиперболоид | $\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ | Прямые, плоскости | Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части. |
| Эллиптический параболоид | $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ | Прямые, плоскости | Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша. |
| Гиперболический параболоид | $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ | Прямые, плоскости | Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз. |
| Конус второго порядка | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ | Прямые, плоскости | Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине. |
| Цилиндрическая поверхность через независимость координаты | $F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$ | Прямые, плоскости | Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси. |