Аналитическая геометрия
Классификация квадрик
Распознавание поверхностей второго порядка по каноническому виду, знакам квадратов и координатным сечениям.
7 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Каноническое уравнение эллипсоида | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ | Прямые, плоскости | Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело. |
| Однополостный гиперболоид | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ | Прямые, плоскости | Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами. |
| Двуполостный гиперболоид | $\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ | Прямые, плоскости | Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части. |
| Эллиптический параболоид | $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ | Прямые, плоскости | Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша. |
| Гиперболический параболоид | $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ | Прямые, плоскости | Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз. |
| Конус второго порядка | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ | Прямые, плоскости | Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине. |
| Цилиндрическая поверхность через независимость координаты | $F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$ | Прямые, плоскости | Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси. |