Математика: темы
Линейная алгебра
Формулы и правила по теме «Линейная алгебра».
120 формул
Таблица формул
Показаны 1-60 из 120. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Длина вектора в Rn | $\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$ | Матрицы, определители | Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат. |
| Скалярное произведение векторов | $a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$ | Матрицы, определители | Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции. |
| Косинус угла между векторами | $\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$ | Матрицы, определители | Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол. |
| Матричное произведение | $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$ | Матрицы, определители | Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен. |
| Определитель матрицы 2x2 | $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ | Матрицы, определители | Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь. |
| Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса | $\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$ | Матрицы, определители | Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям. |
| Обратная матрица 2x2 | $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ | Матрицы, определители | Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор. |
| Решение системы 2x2 по правилу Крамера | $x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ | Матрицы, определители | Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю. |
| Ранг матрицы через миноры | $\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$ | Матрицы, определители | Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы. |
| След матрицы | $\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$ | Матрицы, определители | След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями. |
| Характеристический многочлен матрицы 2x2 | $p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$ | Матрицы, определители | Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы. |
| Матричная форма системы линейных уравнений | $Ax=b$ | Матрицы, определители | Матричная форма Ax = b записывает систему линейных уравнений как произведение матрицы коэффициентов на столбец неизвестных. Такая запись позволяет решать систему не как набор отдельных строк, а как единый линейный объект. |
| Расширенная матрица системы | $\left[A\mid b\right]$ | Матрицы, определители | Расширенная матрица [A|b] объединяет коэффициенты системы и правые части в одну таблицу. Она нужна для метода Гаусса, потому что при преобразовании строк меняются и коэффициенты, и правые части. |
| Элементарные преобразования строк | $R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$ | Матрицы, определители | Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки. |
| Прямой ход метода Гаусса | $R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$ | Матрицы, определители | Прямой ход метода Гаусса зануляет коэффициенты под ведущими элементами. В результате система приводится к ступенчатому виду, из которого решение находят обратной подстановкой. |
| Обратная подстановка в методе Гаусса | $x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$ | Матрицы, определители | Обратная подстановка находит неизвестные после прямого хода метода Гаусса. Она идет снизу вверх по ступенчатой системе: сначала последняя ведущая переменная, затем предыдущие. |
| Ступенчатый вид матрицы | $p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$ | Матрицы, определители | Ступенчатый вид матрицы - это форма, где ведущие элементы ненулевых строк смещаются вправо при движении вниз, а под каждым ведущим элементом стоят нули. |
| Приведенный ступенчатый вид матрицы | $\operatorname{rref}(A)$ | Матрицы, определители | Приведенный ступенчатый вид, или RREF, усиливает обычный ступенчатый вид: каждый ведущий элемент равен 1, а в его столбце все остальные элементы равны 0. |
| Метод Гаусса-Жордана | $\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$ | Матрицы, определители | Метод Гаусса-Жордана продолжает метод Гаусса до приведенного ступенчатого вида. Если система имеет единственное решение, расширенная матрица превращается в [I|x], и ответ читается сразу. |
| Ранг расширенной матрицы системы | $\operatorname{rank}[A\mid b]$ | Матрицы, определители | Ранг расширенной матрицы показывает, добавляет ли столбец правых частей новое независимое условие к строкам матрицы коэффициентов. Это ключ к проверке совместности системы. |
| Теорема Кронекера-Капелли | $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$ | Матрицы, определители | Теорема Кронекера-Капелли дает точный критерий совместности линейной системы: решение существует тогда и только тогда, когда ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равны. |
| Условие несовместности линейной системы | $\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$ | Матрицы, определители | Линейная система несовместна, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Это означает, что правые части добавляют противоречивое условие, которое нельзя получить из левых частей уравнений. |
| Условие единственного решения линейной системы | $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$ | Матрицы, определители | Линейная система с n неизвестными имеет единственное решение, если она совместна и общий ранг равен числу неизвестных. Тогда все переменные ведущие, свободных параметров не остается. |
| Условие бесконечного числа решений линейной системы | $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$ | Матрицы, определители | Совместная линейная система имеет бесконечно много решений, если общий ранг меньше числа неизвестных. Тогда остаются свободные переменные, и все решения описываются параметрами. |
| Число свободных переменных в линейной системе | $k=n-\operatorname{rank}A$ | Матрицы, определители | В совместной линейной системе число свободных переменных равно числу неизвестных минус ранг матрицы коэффициентов. Эти переменные становятся параметрами общего решения. |
| Общее решение линейной системы через параметры | $x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$ | Матрицы, определители | Общее решение совместной линейной системы записывают как одно частное решение плюс линейную комбинацию направлений однородной системы. Параметров столько, сколько свободных переменных. |
| Размерность пространства решений однородной системы | $\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$ | Матрицы, определители | Размерность пространства решений однородной системы Ax = 0 равна числу неизвестных минус ранг матрицы A. Это частный и особенно важный случай подсчета свободных переменных. |
| Ядро линейного отображения | $\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$ | Матрицы, определители | Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным. |
| Образ линейного отображения | $\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$ | Матрицы, определители | Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы. |
| Ранг линейного отображения | $\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$ | Матрицы, определители | Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо. |
| Дефект линейного отображения | $\operatorname{def}T=\dim\ker T$ | Матрицы, определители | Дефект линейного отображения равен размерности его ядра. Он показывает, сколько независимых входных направлений отображение переводит в ноль. |
| Теорема о ранге и дефекте | $\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$ | Матрицы, определители | Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения. |
| Критерий инъективности линейного отображения через ядро | $T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$ | Матрицы, определители | Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из нулевого вектора. Ненулевое ядро означает потерю различимости входов. |
| Критерий сюръективности линейного отображения через образ | $T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$ | Матрицы, определители | Линейное отображение сюръективно, если его образ совпадает со всем пространством значений. В матричном языке это означает полный строковый ранг. |
| Размерности ядра и образа матрицы | $\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$ | Матрицы, определители | Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте. |
| Базис векторного пространства | $B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$ | Матрицы, определители | Базис векторного пространства - это набор векторов, который одновременно порождает все пространство и не содержит лишних зависимых направлений. Через базис любой вектор записывается единственным способом. |
| Координаты вектора в базисе | $v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$ | Матрицы, определители | Координаты вектора в базисе - это коэффициенты единственного разложения вектора по базисным векторам. Сам вектор не меняется, меняется только числовая запись относительно выбранного базиса. |
| Размерность векторного пространства | $\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$ | Матрицы, определители | Размерность конечномерного векторного пространства - это число векторов в любом его базисе. Она показывает, сколько независимых направлений нужно для описания всех элементов пространства. |
| Критерий базиса в Rn через определитель | $A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$ | Матрицы, определители | В Rn набор из n векторов является базисом тогда и только тогда, когда определитель матрицы из этих векторов как столбцов не равен нулю. |
| Матрица базиса и стандартные координаты | $v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$ | Матрицы, определители | Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе. |
| Переход координат между базисами | $[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$ | Матрицы, определители | Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание. |
| Матрица оператора при смене базиса | $[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$ | Матрицы, определители | При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве. |
| Лемма Штейница о замене | $L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad |L|\le |G|$ | Матрицы, определители | Лемма Штейница о замене формализует идею, что независимых направлений не может быть больше, чем в порождающем наборе. Из нее следуют равенство числа векторов в любых базисах и корректность понятия размерности. |
| Критерий линейности отображения | $T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$ | Матрицы, определители | Критерий линейности проверяет, сохраняет ли отображение сложение векторов и умножение на скаляр. Если равенство выполняется для любых u, v и скаляров alpha, beta, отображение линейно. |
| Матрица линейного отображения в стандартных базисах | $T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$ | Матрицы, определители | Если T:R^n -> R^m линейно, то оно задается матрицей A размера m x n. Столбцы A равны образам стандартных базисных векторов области определения. |
| Столбцы матрицы линейного отображения | $A e_j=a_j=T(e_j)$ | Матрицы, определители | j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы. |
| Матрица линейного отображения в произвольных базисах | $[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$ | Матрицы, определители | Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов. |
| Композиция линейных отображений и произведение матриц | $[S\circ T]=[S][T]$ | Матрицы, определители | Матрица композиции линейных отображений равна произведению их матриц в том же порядке применения справа налево: сначала T, затем S. |
| Тождественное линейное отображение и единичная матрица | $\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$ | Матрицы, определители | Тождественное отображение оставляет каждый вектор без изменения. В одном и том же базисе его матрица равна единичной матрице I_n. |
| Обратное линейное отображение и обратная матрица | $T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$ | Матрицы, определители | Если линейное отображение T представлено обратимой квадратной матрицей A, то обратное отображение представлено матрицей A^{-1}. Это верно при согласованных базисах. |
| Линейный оператор как квадратная матрица | $T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$ | Матрицы, определители | Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей. |
| Линейный функционал как строка матрицы | $f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$ | Матрицы, определители | Линейный функционал - это линейное отображение из пространства в поле скаляров. В выбранном базисе он записывается одной строкой, которая умножается на координатный столбец. |
| Собственное значение и собственный вектор | $Av=\lambda v,\quad v\ne0$ | Матрицы, определители | Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление. |
| Характеристическое уравнение матрицы | $\det(A-\lambda I)=0$ | Матрицы, определители | Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы. |
| Характеристический многочлен общей матрицы | $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ | Матрицы, определители | Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности. |
| Собственное пространство матрицы | $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ | Матрицы, определители | Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I. |
| Алгебраическая кратность собственного значения | $p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$ | Матрицы, определители | Алгебраическая кратность собственного значения lambda0 - это степень, с которой множитель lambda-lambda0 входит в характеристический многочлен. |
| Геометрическая кратность собственного значения | $g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$ | Матрицы, определители | Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda. |
| Спектр матрицы | $\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$ | Матрицы, определители | Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения. |
| Сумма собственных значений равна следу | $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$ | Матрицы, определители | Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса. |