Аналитическая геометрия

Полярные координаты

Формулы для точек, прямых, окружностей, коник и площадей в полярной системе координат.

9 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Переход от полярных к декартовым координатам	$x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$	Прямые, плоскости	Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси.
Расстояние между точками в полярных координатах	$d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$	Прямые, плоскости	Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами.
Уравнение прямой в полярных координатах	$r\cos(\varphi-\alpha)=p$	Прямые, плоскости	Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами.
Окружность в полярных координатах	$r^2-2ar\cos\varphi-2br\sin\varphi+a^2+b^2-R^2=0$	Прямые, плоскости	Полярное уравнение окружности получается из декартовой окружности с центром (a,b) после подстановки x=r cos φ и y=r sin φ.
Коника в полярных координатах через фокус и директрису	$r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$	Прямые, плоскости	Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ.
Площадь в полярных координатах	$S=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r(\varphi)^2\,d\varphi$	Прямые, плоскости	Площадь области в полярных координатах равна половине интеграла квадрата радиуса по углу на выбранном промежутке без повторного обхода области.
Полярные координаты в двойном интеграле	$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$	Пределы, ряды	Полярные координаты превращают круговые и радиальные области в простые пределы по радиусу и углу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Цилиндрические координаты	$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$	Пределы, ряды	Цилиндрические координаты расширяют полярные координаты на пространство и удобны для тел с осевой симметрией. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Площадь через двойной интеграл	$S(D)=\iint_D 1\,dA$	Пределы, ряды	Площадь области можно вычислить как двойной интеграл от единицы по этой области. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.