Аналитическая геометрия
Ортогональные преобразования
Повороты и отражения, сохраняющие длины, расстояния, углы и скалярные произведения.
3 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Поворот координат на плоскости | $x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$ | Прямые, плоскости | Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы. |
| Матрица поворота вокруг оси z | $\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины. |
| Инвариант расстояния при ортогональном преобразовании | $\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|,\quad Q^TQ=I$ | Прямые, плоскости | Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение. |