Все формулы РФ

Финансы / Проценты и дисконтирование

Приведенная стоимость обычного аннуитета

Формула приведенной стоимости обычного аннуитета находит текущую стоимость серии равных платежей, которые происходят в конце каждого периода.

Опубликовано: Обновлено:

Проценты и дисконтированиеБазовые финансовые расчетыСтоимость денег во времениАннуитетыДисконтирование

Формула

$$PV=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$$

Обозначения

$PV$
приведенная стоимость аннуитета, рубли или другая валюта сегодня
$C$
размер каждого регулярного платежа, рубли или другая валюта за период
$r$
ставка дисконтирования за период, доля единицы
$n$
число платежей, периоды

Условия применения

  • Платежи равны между собой.
  • Платежи происходят в конце каждого периода: это обычный, а не авансовый аннуитет.
  • Ставка r относится к тому же периоду, что и платежи.

Ограничения

  • Если платежи происходят в начале периода, нужна корректировка для аннуитета due.
  • Если платежи меняются со временем, нужно дисконтировать каждый поток отдельно или использовать формулу растущего аннуитета.
  • Формула не учитывает риск неплатежа, если он не заложен в ставку дисконтирования.

Подробное объяснение

Обычный аннуитет - это серия равных платежей в конце равных периодов. Чтобы найти текущую стоимость такой серии, можно дисконтировать каждый платеж отдельно: первый на один период, второй на два периода, третий на три и так далее. Получится сумма C/(1+r) + C/(1+r)^2 + ... + C/(1+r)^n.

Эта сумма является геометрической прогрессией. Формула PV = C * [1 - (1+r)^(-n)] / r является компактной записью той же суммы. Она не вводит новый финансовый принцип, а просто сокращает длинное сложение одинаковых платежей.

Практический смысл формулы состоит в сравнении потоков. Например, можно оценить, сколько сегодня стоит обещание получать фиксированную сумму каждый год, или какую сумму кредита можно обслуживать заданным платежом. Чем выше ставка дисконтирования, тем меньше текущая стоимость будущих платежей. Чем больше платежей и чем больше C, тем выше PV.

Важно помнить про момент платежа. Формула обычного аннуитета предполагает конец периода. Если платеж делается сразу в начале периода, каждый платеж становится на один период ближе, и расчет нужно корректировать. Поэтому перед подстановкой чисел нужно внимательно читать условие.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что платежи равные и происходят в конце периодов.
  2. Определите платеж C и число платежей n.
  3. Переведите ставку к периоду платежа.
  4. Посчитайте аннуитетный множитель [1 - (1+r)^(-n)] / r.
  5. Умножьте платеж C на аннуитетный множитель.

Историческая справка

Аннуитетные расчеты возникли из практики регулярных выплат: ренты, пенсий, арендных платежей, страховых договоров и долговых обязательств. Когда платежи повторяются, считать каждый из них отдельно можно, но при длинных сроках это неудобно. Поэтому финансовая математика стала использовать формулы геометрической прогрессии для компактной оценки потока. В страховании и банковском деле аннуитеты стали особенно важны, потому что позволили связывать текущую сумму капитала с регулярными будущими выплатами. В электронных таблицах и финансовых калькуляторах эта логика встроена в функции приведенной стоимости и платежа, но понимание формулы помогает видеть, что за кнопкой стоит сумма дисконтированных денежных потоков.

Историческая линия формулы

У формулы обычного аннуитета нет одного автора. Она основана на сумме геометрической прогрессии и развивалась в финансовой практике рент, страхования, кредитования и оценки регулярных платежей. Ее корректно связывать с традицией актуарных и банковских таблиц, а не с единичным открытием.

Пример

Компания должна получать по 30 000 рублей в конце каждого года в течение 4 лет. Требуемая ставка доходности 10% годовых. Приведенная стоимость равна PV = 30 000 * [1 - (1 + 0,10)^(-4)] / 0,10. Множитель аннуитета составляет примерно 3,1699, поэтому PV ≈ 95 096,04 рубля. Это меньше простой суммы платежей 120 000 рублей, потому что будущие платежи дисконтируются: первый платеж ближе и стоит больше сегодня, четвертый платеж дальше и стоит меньше. Формула экономит время, потому что вместо отдельного дисконтирования четырех платежей использует готовую сумму геометрической прогрессии.

Частая ошибка

Частая ошибка - сложить все будущие платежи без дисконтирования и назвать результат текущей стоимостью. Вторая ошибка - использовать годовую ставку для ежемесячных платежей без пересчета ставки в месячную. Третья ошибка - путать обычный аннуитет с авансовым: если платежи идут в начале периода, текущая стоимость выше. Еще одна ошибка - использовать формулу при r = 0 без отдельного случая; если ставка равна нулю, приведенная стоимость равна простой сумме C*n.

Практика

Задачи с решением

Текущая стоимость аренды

Условие. Платеж 20 000 рублей в конце каждого года в течение 3 лет. Ставка 9%. Найдите PV.

Решение. PV = 20 000 * [1 - 1,09^(-3)] / 0,09 ≈ 20 000 * 2,5313 = 50 625,43 рубля.

Ответ. примерно 50 625,43 рубля

Нулевая ставка

Условие. Платеж 10 000 рублей в конце каждого года 5 лет, ставка дисконтирования 0%. Чему равна текущая стоимость?

Решение. При нулевой ставке дисконтирования будущие платежи не уменьшаются. PV = C*n = 10 000 * 5 = 50 000 рублей.

Ответ. 50 000 рублей

Дополнительные источники

  • OpenStax Principles of Finance, раздел Annuities
  • OpenStax Principles of Finance, раздел Future Value and Present Value
  • Учебная финансовая математика: приведенная стоимость аннуитета

Связанные формулы

Финансы

Аннуитетный платеж по приведенной стоимости

$PMT=PV\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}$

Формула аннуитетного платежа показывает размер равного периодического платежа, который соответствует заданной текущей сумме, ставке и числу периодов.

Финансы

Сложные проценты с ежегодной капитализацией

$FV=P(1+r)^n$

Формула сложных процентов показывает будущую стоимость суммы, когда проценты после каждого периода добавляются к капиталу и в следующих периодах тоже участвуют в начислении.