Линейная алгебра

Базис

Базисы векторных пространств, базисные векторы, проверка базиса и связь с координатами.

11 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Базис векторного пространства	$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$	Матрицы, определители	Базис векторного пространства - это набор векторов, который одновременно порождает все пространство и не содержит лишних зависимых направлений. Через базис любой вектор записывается единственным способом.
Координаты вектора в базисе	$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$	Матрицы, определители	Координаты вектора в базисе - это коэффициенты единственного разложения вектора по базисным векторам. Сам вектор не меняется, меняется только числовая запись относительно выбранного базиса.
Размерность векторного пространства	$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$	Матрицы, определители	Размерность конечномерного векторного пространства - это число векторов в любом его базисе. Она показывает, сколько независимых направлений нужно для описания всех элементов пространства.
Критерий базиса в Rn через определитель	$A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$	Матрицы, определители	В Rn набор из n векторов является базисом тогда и только тогда, когда определитель матрицы из этих векторов как столбцов не равен нулю.
Матрица базиса и стандартные координаты	$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$	Матрицы, определители	Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе.
Переход координат между базисами	$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$	Матрицы, определители	Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание.
Матрица оператора при смене базиса	$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$	Матрицы, определители	При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.
Лемма Штейница о замене	$L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad \|L\|\le \|G\|$	Матрицы, определители	Лемма Штейница о замене формализует идею, что независимых направлений не может быть больше, чем в порождающем наборе. Из нее следуют равенство числа векторов в любых базисах и корректность понятия размерности.
Матрица линейного отображения в произвольных базисах	$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$	Матрицы, определители	Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов.
Базис из собственных векторов	$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$	Матрицы, определители	Базис из собственных векторов - это базис пространства, каждый вектор которого является собственным для оператора A. В таком базисе матрица оператора становится диагональной.
Ортонормированный базис	$e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$	Матрицы, определители	Базис называется ортонормированным, если его векторы имеют длину 1 и попарно ортогональны. Краткая запись e_i*e_j=delta_ij объединяет оба условия в одной формуле.