Линейная алгебра
Размерность
Размерность пространства и подпространства, число векторов в базисе и связь с рангом.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Базис векторного пространства | $B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$ | Матрицы, определители | Базис векторного пространства - это набор векторов, который одновременно порождает все пространство и не содержит лишних зависимых направлений. Через базис любой вектор записывается единственным способом. |
| Размерность векторного пространства | $\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$ | Матрицы, определители | Размерность конечномерного векторного пространства - это число векторов в любом его базисе. Она показывает, сколько независимых направлений нужно для описания всех элементов пространства. |
| Лемма Штейница о замене | $L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad |L|\le |G|$ | Матрицы, определители | Лемма Штейница о замене формализует идею, что независимых направлений не может быть больше, чем в порождающем наборе. Из нее следуют равенство числа векторов в любых базисах и корректность понятия размерности. |
| Ортогональное дополнение подпространства | $W^{\perp}=\{x:\ x\cdot w=0\ \text{для всех }w\in W\},\quad \dim W+\dim W^{\perp}=n$ | Матрицы, определители | Ортогональное дополнение W^perp состоит из всех векторов, перпендикулярных каждому вектору подпространства W. В R^n его размерность дополняет размерность W до n. |