Финансы / Кредиты и ипотека

Аннуитетный платеж по приведенной стоимости

Формула аннуитетного платежа показывает размер равного периодического платежа, который соответствует заданной текущей сумме, ставке и числу периодов.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

PMT=PV\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}

Обозначения

$PMT$: равный периодический платеж, рубли или другая валюта за период
$PV$: текущая сумма долга или финансирования, рубли или другая валюта
$r$: ставка за период платежа, доля единицы
$n$: число платежей, периоды

Условия применения

Платежи равные и происходят в конце каждого периода.
Ставка r относится к периоду платежа, например месячная ставка для ежемесячных платежей.
Сумма PV считается на дату перед первым платежом.

Ограничения

Формула не учитывает комиссии, страховки, досрочные погашения и изменение ставки.
Реальный кредитный договор может использовать округление, календарные базы дней и дополнительные платежи.
Если платежи вносятся в начале периода, нужна другая настройка аннуитета.

Подробное объяснение

Формула платежа получается из формулы приведенной стоимости аннуитета. Если PV = PMT * [1 - (1+r)^(-n)] / r, то можно выразить PMT: платеж равен PV, умноженной на r и деленной на аннуитетный знаменатель. Это означает, что равные будущие платежи при дисконтировании по ставке r должны в сумме дать текущую сумму долга.

В кредитах аннуитетный платеж часто удобен пользователю: сумма к оплате каждый месяц одинакова. Но внутри платежа структура меняется. Проценты начисляются на остаток долга, поэтому в начале они больше, а погашение основного долга меньше. Позже остаток уменьшается, процентная часть падает, и тело долга погашается быстрее.

Формула чувствительна к периоду ставки. Если платеж ежемесячный, ставка должна быть месячной, а n - числом месяцев. Если платеж ежегодный, ставка и n должны быть годовыми. Несогласованность периода почти всегда дает неверный платеж.

Для реального договора расчет платежа лучше сверять с графиком, потому что банк может применять свои правила округления, календарные дни, комиссии и страховые платежи. Но базовая формула показывает математическое ядро равного платежа и помогает понимать, почему срок и ставка так сильно влияют на ежемесячную нагрузку.

Как пользоваться формулой

Определите текущую сумму долга PV.
Переведите ставку к периоду платежа.
Определите общее число платежей n.
Подставьте значения в формулу PMT.
Проверьте результат графиком: сумма платежей, проценты и остаток долга.

Историческая справка

Аннуитетные платежи стали важной частью массового кредитования, ипотеки, лизинга и рассрочек. Идея равного платежа удобна организационно: заемщик видит постоянную сумму, а кредитор получает поток, текущая стоимость которого соответствует выданной сумме. Математически формула платежа опирается на ту же геометрическую прогрессию, что и приведенная стоимость аннуитета. С распространением финансовых калькуляторов и электронных таблиц расчет PMT стал стандартной функцией, но сама логика появилась раньше: финансовым учреждениям нужно было связывать сумму долга, ставку, срок и регулярный платеж. Сегодня понимание этой формулы помогает читать кредитный график, видеть роль ставки и срока и не сводить кредит только к удобной ежемесячной сумме.

Пример

Кредит 300 000 рублей нужно погасить равными ежемесячными платежами за 12 месяцев. Месячная ставка 1%. Тогда PV = 300 000, r = 0,01, n = 12. PMT = 300 000 * 0,01 / [1 - (1,01)^(-12)] ≈ 26 654,64 рубля. Каждый платеж включает процентную часть и погашение основного долга. В начале срока процентная часть больше, потому что остаток долга выше. К концу срока остаток уменьшается, и большая доля платежа идет на погашение тела долга. Сама формула находит размер равного платежа, но не показывает детальную разбивку по месяцам; для этого строят график амортизации.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставить годовую ставку вместо месячной при ежемесячных платежах. Например, 12% годовых нельзя подставлять как r = 0,12, если платежи ежемесячные; нужно перейти к месячной ставке по условиям договора. Вторая ошибка - считать, что платеж равен PV/n плюс процент сверху одинаковым образом. В аннуитете платеж одинаковый, но процентная и основная части меняются. Третья ошибка - сравнивать кредиты только по PMT, не учитывая комиссии, срок, переплату и полную стоимость.

Практика

Задачи с решением

Ежемесячный платеж

Условие. Кредит 120 000 рублей, срок 12 месяцев, месячная ставка 1%. Найдите аннуитетный платеж.

Решение. PMT = 120 000 * 0,01 / [1 - 1,01^(-12)] ≈ 10 661,85 рубля.

Ответ. примерно 10 661,85 рубля

Проверить период ставки

Условие. Кредит с ежемесячными платежами имеет номинальную ставку 18% годовых. Какую простую месячную ставку используют в базовом учебном расчете, если ставка делится на 12?

Решение. Месячная ставка r = 0,18/12 = 0,015, то есть 1,5% в месяц. Именно ее нужно подставлять в формулу при n в месяцах.

Ответ. 1,5% в месяц

Дополнительные источники

OpenStax Principles of Finance, раздел Annuities
OpenStax Principles of Finance, раздел Time Value of Money Basics
Учебная финансовая математика: аннуитетные платежи и амортизация долга

Связанные формулы

Финансы

Приведенная стоимость обычного аннуитета

$PV=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$

Формула приведенной стоимости обычного аннуитета находит текущую стоимость серии равных платежей, которые происходят в конце каждого периода.

Финансы

Приведенная стоимость одного будущего платежа

$PV=\frac{FV}{(1+r)^n}$

Приведенная стоимость показывает, сколько сегодня эквивалентен будущий платеж, если учитывать ставку доходности или дисконтирования за время до получения денег.

Финансы

Эффективная годовая ставка

$EAR=\left(1+\frac{r}{m}\right)^m-1$

Эффективная годовая ставка показывает фактический годовой рост суммы с учетом частоты капитализации, поэтому она лучше номинальной ставки подходит для сравнения финансовых условий.