Линейная алгебра
Координаты в базисе
Координатные столбцы, разложение вектора по базису и вычисление координат.
5 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Координаты вектора в базисе | $v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$ | Матрицы, определители | Координаты вектора в базисе - это коэффициенты единственного разложения вектора по базисным векторам. Сам вектор не меняется, меняется только числовая запись относительно выбранного базиса. |
| Матрица базиса и стандартные координаты | $v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$ | Матрицы, определители | Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе. |
| Переход координат между базисами | $[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$ | Матрицы, определители | Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание. |
| Матрица линейного отображения в произвольных базисах | $[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$ | Матрицы, определители | Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов. |
| Координаты в ортонормированном базисе | $x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i$ | Матрицы, определители | В ортонормированном базисе коэффициент при базисном векторе равен скалярному произведению x с этим вектором. Поэтому разложение вектора строится без решения системы уравнений. |