Линейная алгебра

Ранг и дефект

Баланс размерностей ядра и образа, свободные переменные и теорема о ранге и дефекте.

7 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Ядро линейного отображения	$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$	Матрицы, определители	Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.
Ранг линейного отображения	$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$	Матрицы, определители	Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо.
Дефект линейного отображения	$\operatorname{def}T=\dim\ker T$	Матрицы, определители	Дефект линейного отображения равен размерности его ядра. Он показывает, сколько независимых входных направлений отображение переводит в ноль.
Теорема о ранге и дефекте	$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$	Матрицы, определители	Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.
Критерий инъективности линейного отображения через ядро	$T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$	Матрицы, определители	Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из нулевого вектора. Ненулевое ядро означает потерю различимости входов.
Размерности ядра и образа матрицы	$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$	Матрицы, определители	Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте.
Размерность векторного пространства	$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$	Матрицы, определители	Размерность конечномерного векторного пространства - это число векторов в любом его базисе. Она показывает, сколько независимых направлений нужно для описания всех элементов пространства.