Линейная алгебра

Множество решений

Единственное, пустое или параметрическое множество решений линейной системы.

6 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Условие единственного решения линейной системы	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$	Матрицы, определители	Линейная система с n неизвестными имеет единственное решение, если она совместна и общий ранг равен числу неизвестных. Тогда все переменные ведущие, свободных параметров не остается.
Условие бесконечного числа решений линейной системы	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$	Матрицы, определители	Совместная линейная система имеет бесконечно много решений, если общий ранг меньше числа неизвестных. Тогда остаются свободные переменные, и все решения описываются параметрами.
Число свободных переменных в линейной системе	$k=n-\operatorname{rank}A$	Матрицы, определители	В совместной линейной системе число свободных переменных равно числу неизвестных минус ранг матрицы коэффициентов. Эти переменные становятся параметрами общего решения.
Общее решение линейной системы через параметры	$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$	Матрицы, определители	Общее решение совместной линейной системы записывают как одно частное решение плюс линейную комбинацию направлений однородной системы. Параметров столько, сколько свободных переменных.
Размерность пространства решений однородной системы	$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$	Матрицы, определители	Размерность пространства решений однородной системы Ax = 0 равна числу неизвестных минус ранг матрицы A. Это частный и особенно важный случай подсчета свободных переменных.
Образ линейного отображения	$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$	Матрицы, определители	Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы.