Линейная алгебра

Линейные отображения

Ядро, образ, ранг, матрицы отображений и свойства инъективности и сюръективности.

19 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Аффинное преобразование точки	$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$	Прямые, плоскости	Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.
Ядро линейного отображения	$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$	Матрицы, определители	Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.
Образ линейного отображения	$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$	Матрицы, определители	Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы.
Ранг линейного отображения	$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$	Матрицы, определители	Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо.
Дефект линейного отображения	$\operatorname{def}T=\dim\ker T$	Матрицы, определители	Дефект линейного отображения равен размерности его ядра. Он показывает, сколько независимых входных направлений отображение переводит в ноль.
Теорема о ранге и дефекте	$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$	Матрицы, определители	Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.
Критерий инъективности линейного отображения через ядро	$T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$	Матрицы, определители	Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из нулевого вектора. Ненулевое ядро означает потерю различимости входов.
Критерий сюръективности линейного отображения через образ	$T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$	Матрицы, определители	Линейное отображение сюръективно, если его образ совпадает со всем пространством значений. В матричном языке это означает полный строковый ранг.
Размерности ядра и образа матрицы	$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$	Матрицы, определители	Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте.
Матрица оператора при смене базиса	$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$	Матрицы, определители	При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.
Критерий линейности отображения	$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$	Матрицы, определители	Критерий линейности проверяет, сохраняет ли отображение сложение векторов и умножение на скаляр. Если равенство выполняется для любых u, v и скаляров alpha, beta, отображение линейно.
Матрица линейного отображения в стандартных базисах	$T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$	Матрицы, определители	Если T:R^n -> R^m линейно, то оно задается матрицей A размера m x n. Столбцы A равны образам стандартных базисных векторов области определения.
Столбцы матрицы линейного отображения	$A e_j=a_j=T(e_j)$	Матрицы, определители	j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы.
Матрица линейного отображения в произвольных базисах	$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$	Матрицы, определители	Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов.
Композиция линейных отображений и произведение матриц	$[S\circ T]=[S][T]$	Матрицы, определители	Матрица композиции линейных отображений равна произведению их матриц в том же порядке применения справа налево: сначала T, затем S.
Тождественное линейное отображение и единичная матрица	$\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$	Матрицы, определители	Тождественное отображение оставляет каждый вектор без изменения. В одном и том же базисе его матрица равна единичной матрице I_n.
Обратное линейное отображение и обратная матрица	$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$	Матрицы, определители	Если линейное отображение T представлено обратимой квадратной матрицей A, то обратное отображение представлено матрицей A^{-1}. Это верно при согласованных базисах.
Линейный оператор как квадратная матрица	$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$	Матрицы, определители	Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей.
Линейный функционал как строка матрицы	$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$	Матрицы, определители	Линейный функционал - это линейное отображение из пространства в поле скаляров. В выбранном базисе он записывается одной строкой, которая умножается на координатный столбец.