Математика

Геометрия, страница 2

Формулы для фигур, окружностей, площадей, длин и пространственных объектов.

74 формулы

Таблица формул

Показаны 61-74 из 74. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Центр масс области и тела	$\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$	Пределы, ряды	Центр масс показывает, где сосредоточен средний вес распределения в плоскости или в пространстве. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Криволинейный интеграл первого рода	$\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\\|\mathbf r'(t)\\|\,dt$	Пределы, ряды	Криволинейный интеграл 1 рода суммирует скалярную функцию вдоль кривой, взвешивая ее значение элементом длины дуги. Он применяется, когда величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру.
Криволинейный интеграл второго рода	$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$	Пределы, ряды	Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным.
Поверхностный интеграл первого рода	$\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\\|\,du\,dv$	Пределы, ряды	Поверхностный интеграл 1 рода (скалярный) суммирует взвешенную величину по поверхности. Он применяется, когда нужно взять интеграл от плотности массы, температуры или другой скалярной характеристики по оболочке, листу или пластине.
Поток векторного поля через поверхность	$\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$	Пределы, ряды	Поток показывает, какая часть поля проходит через поверхность со стороны нормали. Это ориентированная величина: положительный вклад дает выход или вход в зависимости от принятой ориентации поверхности.
Дивергенция векторного поля	$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$	Пределы, ряды	Дивергенция измеряет локальную плотность источников и стоков поля: насколько в этой точке поле «вытекает» или «втягивается» из окрестности. Она служит точной связкой между локальной производной поля и глобальным потоком через границу.
Ротор векторного поля	`\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)`	Пределы, ряды	Ротор описывает локальную циркуляцию (вихревость) поля. Он показывает, в каком направлении и с какой интенсивностью маленький элемент среды «крутится» под действием поля в окрестности точки.
Теорема Грина	$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$	Пределы, ряды	Теорема Грина связывает ориентированный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области в плоскости. Это ключевая связь между циркуляцией по границе и «внутренней» завихренностью через Q_x−P_y.
Теорема Гаусса-Остроградского	$\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$	Пределы, ряды	Теорема Гаусса-Остроградского переводит объемный интеграл дивергенции в поток через границу замкнутой области. Это ключевая связь локальных источников и глобального выхода поля.
Теорема Стокса	$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$	Пределы, ряды	Теорема Стокса связывает поток ротора через поверхность с интегралом 2 рода по ее ориентированному краю. Она обобщает идею Грина на трехмерные поверхности и связывает локальную завихренность с граничной циркуляцией.
Потенциальное поле и независимость пути	`\mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области}`	Пределы, ряды	Поле называется потенциальным, если его криволинейный интеграл 2 рода зависит только от концов пути. В такой ситуации интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, а поле представляется градиентом потенциала.
Длина вектора в Rn	$\\|x\\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$	Матрицы, определители	Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат.
Скалярное произведение векторов	$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$	Матрицы, определители	Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.
Косинус угла между векторами	$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\\|a\\|\,\\|b\\|}$	Матрицы, определители	Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол.