Математика: темы
Численные методы
Формулы и правила по теме «Численные методы».
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Сингулярное разложение матрицы | $A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$ | Матрицы, определители | Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения. |
| Ранг матрицы через сингулярные числа | $\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$ | Матрицы, определители | Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных чисел. Эта формула связывает алгебраическое понятие размерности образа с численной диагностикой зависимости строк и столбцов. |
| Формула Шермана-Моррисона | $(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$ | Матрицы, определители | Формула Шермана-Моррисона дает обратную матрицу после рангового обновления A+uv^T. Она позволяет обновить уже известную обратную матрицу без полного повторного обращения. |
| Формула Вудбери | $(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$ | Матрицы, определители | Формула Вудбери обобщает обновление обратной матрицы на добавку малого ранга UCV. Она позволяет заменить обращение большой матрицы обращением меньшей матрицы. |