Линейная алгебра

Системы линейных уравнений

Методы решения линейных систем, правило Крамера, матричная форма и условия существования решений.

15 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Решение системы 2x2 по правилу Крамера	$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$	Матрицы, определители	Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю.
Матричная форма системы линейных уравнений	$Ax=b$	Матрицы, определители	Матричная форма Ax = b записывает систему линейных уравнений как произведение матрицы коэффициентов на столбец неизвестных. Такая запись позволяет решать систему не как набор отдельных строк, а как единый линейный объект.
Расширенная матрица системы	$\left[A\mid b\right]$	Матрицы, определители	Расширенная матрица [A\|b] объединяет коэффициенты системы и правые части в одну таблицу. Она нужна для метода Гаусса, потому что при преобразовании строк меняются и коэффициенты, и правые части.
Элементарные преобразования строк	$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$	Матрицы, определители	Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки.
Прямой ход метода Гаусса	$R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$	Матрицы, определители	Прямой ход метода Гаусса зануляет коэффициенты под ведущими элементами. В результате система приводится к ступенчатому виду, из которого решение находят обратной подстановкой.
Обратная подстановка в методе Гаусса	$x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$	Матрицы, определители	Обратная подстановка находит неизвестные после прямого хода метода Гаусса. Она идет снизу вверх по ступенчатой системе: сначала последняя ведущая переменная, затем предыдущие.
Метод Гаусса-Жордана	$\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$	Матрицы, определители	Метод Гаусса-Жордана продолжает метод Гаусса до приведенного ступенчатого вида. Если система имеет единственное решение, расширенная матрица превращается в [I\|x], и ответ читается сразу.
Ранг расширенной матрицы системы	$\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Ранг расширенной матрицы показывает, добавляет ли столбец правых частей новое независимое условие к строкам матрицы коэффициентов. Это ключ к проверке совместности системы.
Теорема Кронекера-Капелли	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Теорема Кронекера-Капелли дает точный критерий совместности линейной системы: решение существует тогда и только тогда, когда ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равны.
Условие несовместности линейной системы	$\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Линейная система несовместна, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Это означает, что правые части добавляют противоречивое условие, которое нельзя получить из левых частей уравнений.
Условие единственного решения линейной системы	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$	Матрицы, определители	Линейная система с n неизвестными имеет единственное решение, если она совместна и общий ранг равен числу неизвестных. Тогда все переменные ведущие, свободных параметров не остается.
Условие бесконечного числа решений линейной системы	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$	Матрицы, определители	Совместная линейная система имеет бесконечно много решений, если общий ранг меньше числа неизвестных. Тогда остаются свободные переменные, и все решения описываются параметрами.
Число свободных переменных в линейной системе	$k=n-\operatorname{rank}A$	Матрицы, определители	В совместной линейной системе число свободных переменных равно числу неизвестных минус ранг матрицы коэффициентов. Эти переменные становятся параметрами общего решения.
Общее решение линейной системы через параметры	$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$	Матрицы, определители	Общее решение совместной линейной системы записывают как одно частное решение плюс линейную комбинацию направлений однородной системы. Параметров столько, сколько свободных переменных.
Размерность пространства решений однородной системы	$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$	Матрицы, определители	Размерность пространства решений однородной системы Ax = 0 равна числу неизвестных минус ранг матрицы A. Это частный и особенно важный случай подсчета свободных переменных.