Линейная алгебра

Совместность систем

Проверка существования решений линейных систем через ранги, ступенчатый вид и правые части.

4 формулы

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Ранг расширенной матрицы системы	$\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Ранг расширенной матрицы показывает, добавляет ли столбец правых частей новое независимое условие к строкам матрицы коэффициентов. Это ключ к проверке совместности системы.
Теорема Кронекера-Капелли	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Теорема Кронекера-Капелли дает точный критерий совместности линейной системы: решение существует тогда и только тогда, когда ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равны.
Условие несовместности линейной системы	$\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Линейная система несовместна, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Это означает, что правые части добавляют противоречивое условие, которое нельзя получить из левых частей уравнений.
Условие единственного решения линейной системы	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$	Матрицы, определители	Линейная система с n неизвестными имеет единственное решение, если она совместна и общий ранг равен числу неизвестных. Тогда все переменные ведущие, свободных параметров не остается.