Аналитическая геометрия

Канонический вид

Формулы, которые приводят кривые и поверхности к стандартной форме с читаемыми параметрами.

23 формулы

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Общее уравнение кривой второго порядка	$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$	Прямые, плоскости	Общее уравнение второй степени на плоскости объединяет уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы до поворота и переноса координат.
Классификация коники по дискриминанту	$\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$	Прямые, плоскости	Знак B^2-4AC однозначно определяет тип коники после удаления сдвига и поворота, если кривая не вырождена. Формула "Классификация коники по дискриминанту" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов.
Центр коники из линейной системы	$\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$	Прямые, плоскости	Для коник с A^2 + AC + C^2 > 0 центр (h,k) находится как решение линейной системы, обнуляющей линейные члены после переноса.
Угол поворота осей для устранения члена xy	$\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$	Прямые, плоскости	Поворотом на угол θ убирается смешанный член xy в квадратичной форме второго порядка. Формула "Угол поворота осей для устранения члена xy" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов.
Перенос начала координат в центр коники	`x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0`	Прямые, плоскости	После нахождения центра (h,k) подстановка x=X+h, y=Y+k удаляет линейные члены X и Y. Формула "Перенос начала координат в центр коники" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов.
Полуоси эллипса после диагонализации	$\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$	Прямые, плоскости	После переноса и поворота эллипс приводится к виду \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+J=0 и полуоси выражаются через собственные значения.
Полуоси гиперболы после диагонализации	$\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{\|J\|}{\|\lambda_+\|},\ b^2=\frac{\|J\|}{\|\lambda_-\|}$	Прямые, плоскости	Для гиперболы после центрирования и поворота одно собственное значение имеет знак минус, другое плюс, из чего напрямую получаются полуоси.
Вершина и ось параболы через выделение квадрата	$(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$	Прямые, плоскости	После поворота (если нужно) и смещения, парабола сводится к квадратному выражению относительно одной переменной: это сразу даёт ось и вершину.
Критерий вырожденной коники через определитель	$\Delta = \left\|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right\| = 0$	Прямые, плоскости	Если детерминант квадратичной формы с линейными и свободным членом равен нулю, возможна вырождённая коника (две прямые, точка, пустое множество).
Инвариант следа квадратичной части коники	$A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$	Прямые, плоскости	След квадратичной формы сохраняется при ортогональном повороте; после диагонализации это удобно как контроль правильности вычислений.
Уравнение сферы по центру и радиусу	$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$	Прямые, плоскости	Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.
Сфера по концам диаметра	$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$	Прямые, плоскости	Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.
Касательная плоскость к сфере	$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$	Прямые, плоскости	Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания.
Каноническое уравнение эллипсоида	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами.
Двуполостный гиперболоид	$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	Прямые, плоскости	Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части.
Эллиптический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша.
Гиперболический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз.
Конус второго порядка	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$	Прямые, плоскости	Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине.
Цилиндрическая поверхность через независимость координаты	$F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$	Прямые, плоскости	Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси.
Снятие линейного члена через сдвиг центра	$x^T A x+2b^T x+c=(x+x_0)^T A (x+x_0)+c-b^T A^{-1} b, \quad x_0=-A^{-1}b, \ (A \text{ nonsingular}).$	Матрицы, определители	Если у квадратичной формы есть линейная часть, её удобно убрать сдвигом переменных x→x+x₀ и затем сводить оставшуюся чистую квадратичную часть к главным осям.
Устранение смешанного члена в 2D	$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$	Матрицы, определители	В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает.
Канонический вид в главных осях	$q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$	Матрицы, определители	В координатах главных осей квадратичная форма становится суммой квадратов с весами-коэффициентами λ_i, что упрощает классификацию многообразий.