Высшая математика

Аналитическая геометрия, страница 2

Формулы координатного метода: точки, векторы, прямые, окружности, коники и расстояния в координатах.

84 формулы

Таблица формул

Показаны 61-84 из 84. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Уравнение сферы по центру и радиусу	$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$	Прямые, плоскости	Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.
Сфера по концам диаметра	$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$	Прямые, плоскости	Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.
Касательная плоскость к сфере	$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$	Прямые, плоскости	Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания.
Каноническое уравнение эллипсоида	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами.
Двуполостный гиперболоид	$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	Прямые, плоскости	Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части.
Эллиптический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша.
Гиперболический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз.
Конус второго порядка	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$	Прямые, плоскости	Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине.
Цилиндрическая поверхность через независимость координаты	$F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$	Прямые, плоскости	Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси.
Перенос начала координат в пространстве	$x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$	Прямые, плоскости	Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию.
Поворот координат на плоскости	$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$	Прямые, плоскости	Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.
Матрица поворота вокруг оси z	$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$	Прямые, плоскости	Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.
Масштабирование координат	$x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$	Прямые, плоскости	Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей.
Аффинное преобразование точки	$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$	Прямые, плоскости	Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.
Обратное аффинное преобразование	$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$	Прямые, плоскости	Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима.
Барицентрические координаты точки на отрезке	$P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$	Прямые, плоскости	Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице.
Барицентрические координаты в треугольнике через площади	$\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$	Прямые, плоскости	Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника.
Центр масс системы точек	$\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$	Прямые, плоскости	Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты.
Инвариант расстояния при ортогональном преобразовании	$\\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\\|=\\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\\|,\quad Q^TQ=I$	Прямые, плоскости	Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение.
Якобиан замены координат	$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=\|J\|\,dA_{uv}$	Пределы, ряды	Якобиан измеряет, во сколько раз локально растягивается или сжимается площадь или объем при замене переменных. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Криволинейный интеграл второго рода	$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$	Пределы, ряды	Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным.
Ротор векторного поля	`\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)`	Пределы, ряды	Ротор описывает локальную циркуляцию (вихревость) поля. Он показывает, в каком направлении и с какой интенсивностью маленький элемент среды «крутится» под действием поля в окрестности точки.
Потенциальное поле и независимость пути	`\mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области}`	Пределы, ряды	Поле называется потенциальным, если его криволинейный интеграл 2 рода зависит только от концов пути. В такой ситуации интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, а поле представляется градиентом потенциала.