Линейная алгебра
Ортонормированный базис
Базисы из единичных взаимно ортогональных векторов и координаты через скалярные произведения.
7 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Ортонормированный базис | $e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$ | Матрицы, определители | Базис называется ортонормированным, если его векторы имеют длину 1 и попарно ортогональны. Краткая запись e_i*e_j=delta_ij объединяет оба условия в одной формуле. |
| Координаты в ортонормированном базисе | $x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i$ | Матрицы, определители | В ортонормированном базисе коэффициент при базисном векторе равен скалярному произведению x с этим вектором. Поэтому разложение вектора строится без решения системы уравнений. |
| Ортогональная проекция на подпространство с ортонормированным базисом | $\operatorname{proj}_{W}x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i$ | Матрицы, определители | Если q_1,...,q_k образуют ортонормированный базис подпространства W, то проекция x на W равна сумме его компонент вдоль этих базисных направлений. |
| Матрица ортогональной проекции | $P=QQ^{T},\quad Q^{T}Q=I$ | Матрицы, определители | Если столбцы Q образуют ортонормированный базис подпространства W, то матрица P=QQ^T переводит любой вектор в его ортогональную проекцию на W. |
| Ортогональная матрица | $Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}$ | Матрицы, определители | Квадратная матрица Q ортогональна, если ее столбцы образуют ортонормированный базис. Тогда обратная матрица равна транспонированной, а преобразование сохраняет длины и углы. |
| Первый вектор в Gram-Schmidt | $q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|}$ | Матрицы, определители | Нормировка первого столбца задает первый ортонормированный вектор. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| k-й шаг алгоритма Gram-Schmidt | $u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}$ | Матрицы, определители | Для каждого нового столбца убирают вклад уже построенных ортонормированных направлений, затем нормируют остаток. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |