Линейная алгебра
Ортогональное дополнение
Подпространства всех векторов, перпендикулярных заданному подпространству, и связь размерностей.
3 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Ортогональность векторов через скалярное произведение | $u\cdot v=0$ | Матрицы, определители | Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. В евклидовом пространстве это означает взаимную перпендикулярность направлений и дает алгебраический способ проверять прямые углы. |
| Ортогональное дополнение подпространства | $W^{\perp}=\{x:\ x\cdot w=0\ \text{для всех }w\in W\},\quad \dim W+\dim W^{\perp}=n$ | Матрицы, определители | Ортогональное дополнение W^perp состоит из всех векторов, перпендикулярных каждому вектору подпространства W. В R^n его размерность дополняет размерность W до n. |
| Расстояние до подпространства через проекцию | $\operatorname{dist}(x,W)=\|x-\operatorname{proj}_{W}x\|$ | Матрицы, определители | Расстояние от вектора x до подпространства W равно длине ортогонального остатка после проекции x на W. Проекция дает ближайший вектор внутри W. |