Линейная алгебра
Ортогональная проекция
Проекции на прямые и подпространства, ортогональные остатки и ближайшие векторы.
6 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Координаты в ортонормированном базисе | $x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i$ | Матрицы, определители | В ортонормированном базисе коэффициент при базисном векторе равен скалярному произведению x с этим вектором. Поэтому разложение вектора строится без решения системы уравнений. |
| Ортогональная проекция на прямую | $\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$ | Матрицы, определители | Ортогональная проекция вектора v на прямую, заданную ненулевым вектором u, равна такому кратному u, что остаток v-proj_u v перпендикулярен прямой. |
| Ортогональная проекция на подпространство с ортонормированным базисом | $\operatorname{proj}_{W}x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i$ | Матрицы, определители | Если q_1,...,q_k образуют ортонормированный базис подпространства W, то проекция x на W равна сумме его компонент вдоль этих базисных направлений. |
| Матрица ортогональной проекции | $P=QQ^{T},\quad Q^{T}Q=I$ | Матрицы, определители | Если столбцы Q образуют ортонормированный базис подпространства W, то матрица P=QQ^T переводит любой вектор в его ортогональную проекцию на W. |
| Расстояние до подпространства через проекцию | $\operatorname{dist}(x,W)=\|x-\operatorname{proj}_{W}x\|$ | Матрицы, определители | Расстояние от вектора x до подпространства W равно длине ортогонального остатка после проекции x на W. Проекция дает ближайший вектор внутри W. |
| Наименьшие квадраты через QR | $\hat{x}=R^{-1}Q^{\top}b,\quad A=QR$ | Матрицы, определители | После QR-раскладывания задача минимизации сводится к решению треугольной системы. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений. |