Аналитическая геометрия
Преобразование координат
Формулы для поворота и переноса осей, устранения смешанного члена и центрирования кривых.
23 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Общее уравнение кривой второго порядка | $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ | Прямые, плоскости | Общее уравнение второй степени на плоскости объединяет уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы до поворота и переноса координат. |
| Классификация коники по дискриминанту | $\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$ | Прямые, плоскости | Знак B^2-4AC однозначно определяет тип коники после удаления сдвига и поворота, если кривая не вырождена. Формула "Классификация коники по дискриминанту" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Центр коники из линейной системы | $\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$ | Прямые, плоскости | Для коник с A^2 + AC + C^2 > 0 центр (h,k) находится как решение линейной системы, обнуляющей линейные члены после переноса. |
| Угол поворота осей для устранения члена xy | $\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$ | Прямые, плоскости | Поворотом на угол θ убирается смешанный член xy в квадратичной форме второго порядка. Формула "Угол поворота осей для устранения члена xy" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Перенос начала координат в центр коники | x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0 |
Прямые, плоскости | После нахождения центра (h,k) подстановка x=X+h, y=Y+k удаляет линейные члены X и Y. Формула "Перенос начала координат в центр коники" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Полуоси эллипса после диагонализации | $\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$ | Прямые, плоскости | После переноса и поворота эллипс приводится к виду \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+J=0 и полуоси выражаются через собственные значения. |
| Полуоси гиперболы после диагонализации | $\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$ | Прямые, плоскости | Для гиперболы после центрирования и поворота одно собственное значение имеет знак минус, другое плюс, из чего напрямую получаются полуоси. |
| Вершина и ось параболы через выделение квадрата | $(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$ | Прямые, плоскости | После поворота (если нужно) и смещения, парабола сводится к квадратному выражению относительно одной переменной: это сразу даёт ось и вершину. |
| Критерий вырожденной коники через определитель | $\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$ | Прямые, плоскости | Если детерминант квадратичной формы с линейными и свободным членом равен нулю, возможна вырождённая коника (две прямые, точка, пустое множество). |
| Инвариант следа квадратичной части коники | $A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | След квадратичной формы сохраняется при ортогональном повороте; после диагонализации это удобно как контроль правильности вычислений. |
| Переход от полярных к декартовым координатам | $x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$ | Прямые, плоскости | Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси. |
| Расстояние между точками в полярных координатах | $d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами. |
| Уравнение прямой в полярных координатах | $r\cos(\varphi-\alpha)=p$ | Прямые, плоскости | Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами. |
| Перенос начала координат в пространстве | $x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$ | Прямые, плоскости | Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию. |
| Поворот координат на плоскости | $x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$ | Прямые, плоскости | Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы. |
| Матрица поворота вокруг оси z | $\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины. |
| Масштабирование координат | $x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$ | Прямые, плоскости | Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей. |
| Аффинное преобразование точки | $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ | Прямые, плоскости | Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой. |
| Обратное аффинное преобразование | $\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$ | Прямые, плоскости | Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима. |
| Барицентрические координаты точки на отрезке | $P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$ | Прямые, плоскости | Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице. |
| Барицентрические координаты в треугольнике через площади | $\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$ | Прямые, плоскости | Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника. |
| Центр масс системы точек | $\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$ | Прямые, плоскости | Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты. |
| Инвариант расстояния при ортогональном преобразовании | $\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|,\quad Q^TQ=I$ | Прямые, плоскости | Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение. |