Финансы / Проценты и дисконтирование

Будущая стоимость обычного аннуитета

Формула показывает, во что превратится серия равных платежей в конце каждого периода, если каждый платеж накапливается под одну и ту же ставку.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

FV=C\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}

Обозначения

$FV$: будущая стоимость всей серии платежей на конец срока, рубли или другая валюта
$C$: равный платеж в конце каждого периода, рубли или другая валюта за период
$r$: ставка доходности за один период, доля единицы за период
$n$: число платежей и периодов накопления, периоды

Условия применения

Платежи равные и вносятся в конце каждого периода.
Ставка r относится к тому же периоду, что и платеж C.
Все платежи остаются в накоплении до конца срока.
Если r = 0, формула заменяется простым FV = C*n.

Ограничения

Формула не подходит для платежей в начале периода: для них используется аннуитет due.
Если платежи меняются, пропускаются или ставка плавает, нужно считать каждый поток отдельно.
Результат не учитывает налоги, комиссии, риск доходности и ограничения на снятие денег.
Для реальных инвестиционных активов постоянная ставка является допущением модели, а не гарантией.

Подробное объяснение

Обычный аннуитет - это серия равных платежей в конце равных периодов. В формуле будущей стоимости каждый платеж переносится к одной общей дате: к концу последнего периода. Первый платеж накапливается дольше всех, второй чуть меньше, а последний платеж, внесенный в конце срока, почти не имеет времени на рост.

Если расписать расчет вручную, получится C(1+r)^{n-1} + C(1+r)^{n-2} + ... + C. Это геометрическая прогрессия. Ее сумма и дает множитель ((1+r)^n - 1)/r. Формула не меняет финансовый смысл: она просто компактно складывает будущие стоимости одинаковых платежей.

При увеличении ставки r итог растет быстрее, потому что ранние платежи получают больше дохода на доход. При увеличении числа периодов эффект усиливается двумя способами: появляется больше самих платежей и старые платежи дольше капитализируются. Поэтому срок накопления часто влияет на результат сильнее, чем кажется при линейном сложении взносов.

Формула полезна в задачах накопления: сколько будет на счете при регулярных взносах, какой резерв накопит компания или какой фонд можно сформировать к дате погашения обязательства. Но перед расчетом нужно строго определить момент платежа. Если взнос делается в начале периода, каждый платеж получает один дополнительный период дохода и нужен другой множитель.

От приведенной стоимости аннуитета эта формула отличается направлением времени. Приведенная стоимость отвечает, сколько серия платежей стоит сегодня. Будущая стоимость отвечает, какая сумма будет накоплена в конце срока.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что платежи равные и вносятся в конце периодов.
Определите платеж C и число платежей n.
Переведите ставку к периоду платежа.
Посчитайте множитель накопления ((1+r)^n - 1) / r.
Умножьте множитель на C.
Сравните результат с простой суммой взносов, чтобы увидеть накопленный доход.

Историческая справка

Аннуитетные формулы выросли из задач регулярных рент, страховых выплат, пенсионных платежей и долговых обязательств. Уже в ранней коммерческой арифметике было важно понимать не только стоимость одной суммы, но и стоимость серии одинаковых выплат. Для будущей стоимости ключевой стала идея сложения геометрической прогрессии: платежи одинаковы, но каждый находится на разном расстоянии от конечной даты. В XIX-XX веках аннуитетные таблицы широко применялись в страховании жизни, банковском деле и государственном долге. С появлением финансовых калькуляторов и электронных таблиц формула стала доступной как стандартная функция, но ее математическая основа осталась прежней: сумма будущих стоимостей равных платежей.

Историческая линия формулы

Формула будущей стоимости аннуитета не принадлежит одному автору. Она основана на геометрической прогрессии и развивалась в традиции актуарных расчетов, банковских таблиц и финансовой математики регулярных платежей, особенно рент и накопительных фондов.

Пример

Инвестор вносит по 30 000 рублей в конце каждого года в течение 5 лет. Ожидаемая ставка доходности 8% годовых, платежи остаются в накоплении до конца пятого года. Подстановка: FV = 30 000 * ((1 + 0,08)^5 - 1) / 0,08. Аннуитетный множитель накопления равен примерно 5,8666, поэтому FV ≈ 175 998,03 рубля. Простая сумма взносов равна 150 000 рублей, а разница около 25 998 рублей возникает из-за доходности на ранние платежи. Последний платеж почти не успевает заработать доход, потому что он внесен в конце срока.

Частая ошибка

Частая ошибка - использовать формулу будущей стоимости одной суммы и умножить результат на число платежей. У каждого платежа разный срок накопления, поэтому нужна сумма геометрической прогрессии. Вторая ошибка - считать платежи в начале периода обычным аннуитетом; тогда итог будет занижен. Третья ошибка - подставлять годовую ставку при ежемесячных взносах без пересчета в месячную. Еще одна ошибка - забывать отдельный случай r = 0, где деление на r невозможно, а будущая стоимость равна сумме взносов.

Практика

Задачи с решением

Годовые взносы в резерв

Условие. Компания вносит по 40 000 рублей в конце каждого года 4 года. Ставка доходности 7% годовых. Найдите будущую стоимость резерва.

Решение. FV = 40 000 * ((1,07^4 - 1) / 0,07) = 40 000 * 4,4399 ≈ 177 596,05 рубля.

Ответ. примерно 177 596,05 рубля

Нулевая доходность

Условие. В конце каждого месяца вносят по 5 000 рублей в течение 12 месяцев. Доходность равна 0%. Сколько будет накоплено?

Решение. При r = 0 формулу с делением на r не используют. Будущая стоимость равна простой сумме платежей: FV = 5 000 * 12 = 60 000 рублей.

Ответ. 60 000 рублей

Дополнительные источники

OpenStax Principles of Finance, раздел Annuities
OpenStax Principles of Finance, раздел Future Value
CFA Program Curriculum, Quantitative Methods: Time Value of Money

Связанные формулы

Финансы

Приведенная стоимость обычного аннуитета

$PV=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$

Формула приведенной стоимости обычного аннуитета находит текущую стоимость серии равных платежей, которые происходят в конце каждого периода.

Финансы

Будущая стоимость аннуитета с платежами в начале периода

$FV_{due}=C\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}\cdot(1+r)$

Формула показывает будущую стоимость равных авансовых платежей, когда каждый взнос делается в начале периода и поэтому зарабатывает один дополнительный период дохода.

Финансы

Регулярный платеж для накопления будущей суммы

$PMT=FV\cdot\frac{r}{(1+r)^n-1}$

Формула находит равный платеж в конце каждого периода, который нужен, чтобы накопить заданную будущую сумму при известной ставке и сроке.

Финансы

Сложные проценты с ежегодной капитализацией

$FV=P(1+r)^n$

Формула сложных процентов показывает будущую стоимость суммы, когда проценты после каждого периода добавляются к капиталу и в следующих периодах тоже участвуют в начислении.