Все формулы РФ

Финансы / Проценты и дисконтирование

Регулярный платеж для накопления будущей суммы

Формула находит равный платеж в конце каждого периода, который нужен, чтобы накопить заданную будущую сумму при известной ставке и сроке.

Опубликовано: Обновлено:

Проценты и дисконтированиеБазовые финансовые расчетыСтоимость денег во времениАннуитетыСложные проценты

Формула

$$PMT=FV\cdot\frac{r}{(1+r)^n-1}$$

Обозначения

$PMT$
равный платеж или взнос в конце каждого периода, рубли или другая валюта за период
$FV$
целевая будущая сумма на конец срока, рубли или другая валюта
$r$
ставка доходности за период, доля единицы за период
$n$
число платежей, периоды

Условия применения

  • Платежи равные и вносятся в конце каждого периода.
  • Целевая сумма FV оценивается на конец последнего периода.
  • Ставка r относится к периоду платежа.
  • Если r = 0, платеж равен FV/n.

Ограничения

  • Формула не подходит для платежей в начале периода без корректировки на аннуитет due.
  • Она не учитывает налоги, комиссии, просадки доходности и вероятность пропуска платежей.
  • Если будущая цель индексируется на инфляцию, сначала нужно уточнить номинальную целевую сумму.
  • При переменной ставке или нерегулярных взносах требуется отдельная модель денежных потоков.

Подробное объяснение

Формула платежа для накопления получается из будущей стоимости обычного аннуитета. Если серия равных платежей C дает FV = C * ((1+r)^n - 1)/r, то можно выразить C. Получается PMT = FV*r / ((1+r)^n - 1). Это обратная задача: не сколько накопится при заданном платеже, а какой платеж нужен для заданной цели.

Экономический смысл формулы в том, что каждый ранний взнос работает дольше. Поэтому при положительной ставке требуемый платеж меньше простого FV/n. Чем выше ставка и длиннее срок, тем сильнее вклад доходности и тем ниже регулярный взнос при прочих равных.

При этом формула очень чувствительна к периоду. Если цель через 5 лет достигается ежемесячными взносами, n должен быть числом месяцев, а r - месячной ставкой. Годовую ставку можно использовать только при годовых платежах или после корректного пересчета.

Формула часто встречается в задачах о sinking fund - фонде, который создается для будущего погашения обязательства. Компания может заранее накапливать сумму для выплаты долга, а человек - для крупной покупки. В обоих случаях важно понимать, что расчет не гарантирует доходность, а задает план при выбранной ставке.

От аннуитетного платежа по кредиту формула отличается направлением времени. Кредитный платеж гасит сегодняшнюю сумму PV, а накопительный платеж создает будущую сумму FV.

Как пользоваться формулой

  1. Определите целевую будущую сумму FV.
  2. Выберите период взноса и число платежей n.
  3. Переведите ожидаемую ставку к периоду взноса.
  4. Подставьте значения в PMT = FV*r / ((1+r)^n - 1).
  5. При нулевой ставке используйте PMT = FV/n.
  6. Проверьте, совпадает ли момент платежа с концом периода.

Историческая справка

Задача найти регулярный взнос для будущей суммы связана с практикой sinking funds - фондов погашения, которые использовались для подготовки будущих выплат по долгам и крупным обязательствам. Вместо того чтобы искать всю сумму в момент погашения, заемщик или организация заранее делали равные взносы, а проценты накапливали недостающую часть. В финансовой математике эта задача естественно возникла как обратная к будущей стоимости аннуитета. В актуарных таблицах, бухгалтерской практике и банковских расчетах такие платежи помогали связывать будущую цель, срок и ставку. В современных электронных таблицах похожая логика встроена в функции платежа, но понимание формулы защищает от путаницы между накопительным платежом и кредитным аннуитетом.

Пример

Нужно накопить 600 000 рублей за 24 месяца, взносы делаются в конце каждого месяца, ожидаемая месячная ставка 1%. Дано: FV = 600 000, r = 0,01, n = 24. Подстановка: PMT = 600 000 * 0,01 / (1,01^24 - 1) ≈ 22 244,08 рубля. Проверка: простое деление 600 000 / 24 дало бы 25 000 рублей, но доходность на ранние взносы снижает нужный платеж. При этом расчет верен только при условии, что ставка действительно сохраняется, а взносы не пропускаются.

Частая ошибка

Частая ошибка - использовать формулу аннуитетного платежа по кредиту, где известна текущая сумма PV, хотя здесь известна будущая цель FV. Вторая ошибка - считать платеж как FV/n и игнорировать доходность, что завышает взнос при положительной ставке. Третья ошибка - подставлять годовую ставку для месячных взносов. Еще одна ошибка - забывать, что формула предполагает платежи в конце периода; авансовые взносы потребуют меньшего платежа.

Практика

Задачи с решением

Цель через два года

Условие. Нужно накопить 600 000 рублей за 24 месяца. Взносы в конце месяца, месячная ставка 1%. Найдите платеж.

Решение. PMT = 600 000 * 0,01 / (1,01^24 - 1) ≈ 22 244,08 рубля.

Ответ. примерно 22 244,08 рубля в месяц

Годовые взносы в фонд

Условие. Компания хочет накопить 1 000 000 рублей за 5 лет. Взносы в конце года, ставка 7% годовых. Найдите годовой взнос.

Решение. PMT = 1 000 000 * 0,07 / (1,07^5 - 1) ≈ 173 890,69 рубля.

Ответ. примерно 173 890,69 рубля в год

Дополнительные источники

  • OpenStax Principles of Finance, раздел Future Value of an Annuity
  • CFA Program Curriculum, Quantitative Methods: Annuity Payments
  • Brealey, Myers, Allen, Principles of Corporate Finance, time value of money appendices

Связанные формулы

Финансы

Будущая стоимость обычного аннуитета

$FV=C\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$

Формула показывает, во что превратится серия равных платежей в конце каждого периода, если каждый платеж накапливается под одну и ту же ставку.

Финансы

Аннуитетный платеж по приведенной стоимости

$PMT=PV\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}$

Формула аннуитетного платежа показывает размер равного периодического платежа, который соответствует заданной текущей сумме, ставке и числу периодов.