Математический анализ
Бесконечные пределы
Пределы, в которых функция стремится к плюс или минус бесконечности.
17 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Бесконечный предел функции | $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ | Пределы, ряды | Бесконечный предел означает, что значения функции неограниченно растут по модулю при приближении аргумента к точке. Это удобно для описания вертикальных асимптот и резких всплесков. |
| Предел последовательности | $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ | Пределы, ряды | Предел последовательности показывает число L, к которому стремятся члены a_n при n→∞; это базовый элемент анализа для оценки долгосрочного поведения. |
| Геометрическая прогрессия как ряд | $a_n = a_1 q^{n-1}, \quad n\in\mathbb N$ | Пределы, ряды | Общий член геометрической прогрессии определяется умножением первого члена на степень знаменателя n−1. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Сумма бесконечного геометрического ряда | $\sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}, \quad |q|<1$ | Пределы, ряды | Если |q|<1, бесконечная геометрическая сумма равна a_1/(1-q). Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Необходимый признак сходимости ряда | $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{ сходится }\Rightarrow\lim_{n\to\infty} a_n=0$ | Пределы, ряды | Если ряд сходится, то его члены обязательно стремятся к нулю; это обязательный, но не достаточный тест. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Гармонический ряд | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,\,\text{(расходится)}$ | Пределы, ряды | Гармонический ряд является эталоном: член 1/n→0 слишком медленно для сходимости. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| p-ряды | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ сходится }\iff p>1$ | Пределы, ряды | Сходимость p-рядов полностью описывается значением p относительно 1. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Признак сравнения | 0\le a_n\le b_n,\;\sum b_n\text{ сходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ сходится};\;0\le b_n\le a_n,\;\sum b_n\text{ расходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ расходится} |
Пределы, ряды | Сравнение с уже изученным рядом позволяет быстро переносить сходимость и расходимость. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Признак Даламбера | L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\;L<1\Rightarrow\text{абс.схожд};\;L>1\Rightarrow\text{расхожд};\;L=1\text{ не информативно} |
Пределы, ряды | Отношение соседних членов определяет геометрический тип убывания ряда в хвосте. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Признак Коши для рядов | $a_n>0, a_n\downarrow 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится }\iff \sum 2^n a_{2^n} \text{ сходится}$ | Пределы, ряды | Критерий уплотнения (Коши) сводит ряд к подвыборке с индексом 2^n. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Абсолютная и условная сходимость | \sum a_n\text{ абсолютно сходится}\iff\sum|a_n|\text{ сходится};\;\sum a_n\text{ условно сходится }\iff\sum a_n\text{ сходится, но }\sum|a_n|\text{ расходится} |
Пределы, ряды | Классификация разделяет устойчивую сходимость от сходимости за счёт знакопеременного баланса. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Степенной ряд | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ | Пределы, ряды | Степенной ряд — это бесконечная сумма, где каждый следующий член строится по одному шаблону степени относительно фиксированного центра a. В таком виде функция описывается через бесконечное многочленное приближение, а локальное поведение переменной x становится управляемым по степеням (x−a). Для практики это удобно: один набор коэффициентов {a_n} определяет весь шаблон приближения и задает область, где сумма имеет смысл. |
| Радиус сходимости степенного ряда | $R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$ | Пределы, ряды | Радиус сходимости R определяет главный «каркас» степенного ряда: внутри интервала (a−R,a+R) ряд сходится, вне его расходится. В этом месте удобно разделять задачу на два этапа: сначала анализировать общий коэффициентный шаблон через limsup (или эквивалентный признак отношения), затем отдельно проверять концы. Такой подход резко снижает риск пропуска тонких случаев. |
| Интервал сходимости степенного ряда | $I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$ | Пределы, ряды | После нахождения радиуса сходимости остаётся завершить задачу, исследовав сам интервал. Внутри I ряд гарантированно сходится, вне I расходится, а на концах R-круговой границы возможны любые варианты: сходящийся, расходящийся или условно сходящийся. Поэтому интервал сходимости всегда строится в два шага: «внутри/снаружи» по R и «границы» по отдельным критериям. |
| Формула Тейлора с остаточным членом | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Формула Тейлора описывает функцию через начальные производные в точке a и остаточный член, который контролирует точность обрезки. В задачах это даёт не только аппроксимацию, но и механизм проверки погрешности через ξ между a и x. Такой подход делает разложение вычислительно безопасным. |
| Ряд ln(1+x) | $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1$ | Пределы, ряды | Это одно из самых практичных разложений для логарифма возле нуля. Оно позволяет считать ln(1+x) на малых x через полином с контролируемым остатком, что удобно в задачах с относительными изменениями и экономическими/приблизительными моделями. |
| Биномиальный ряд | $(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)}$ | Пределы, ряды | Биномиальный ряд обобщает двойную степень и рациональные степени через обобщенные биномиальные коэффициенты. Он расширяет идею (1+x)^m на нецелое α и даёт удобный локальный аппарат для корней и дробных степеней. |