Все формулы РФ

Инженерия / Статика и сопротивление материалов

Модуль Юнга

Модуль Юнга — коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и относительной деформацией в линейной упругой области.

Опубликовано: Обновлено:

Статика и сопротивление материаловМеханикаКалькуляторШкольная программаЕсть историческая справка

Формула

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$
График Зона линейного участка

График зависимости σ от ε в линейной зоне имеет наклон E.

Коэффициент наклона начального участка кривой и есть модуль Юнга.

Обозначения

$E$
Модуль Юнга, Па (СИ)
$\sigma$
Нормальное напряжение, Па (СИ)
$\varepsilon$
Относительная деформация, 1 (безразмерная)

Условия применения

  • Зона линейной упругости (до предела текучести).
  • Нагрузка приложена равномерно и не вызывает заметную геометрическую нелинейность.
  • Материал рассматривается изотропным на данном этапе.

Ограничения

  • Для анизотропных материалов может быть разным по направлениям.
  • Сдвиговые эффекты и температура не входят в эту простую формулу.
  • После начала пластичности связь перестает быть линейной.

Подробное объяснение

Это один из базовых материальных параметров. Чем больше E, тем меньше деформация при той же нагрузке в линейной области.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите в задаче пару (σ, ε), соответствующую линейной зоне.
  2. Рассчитайте E как отношение напряжения к деформации.
  3. Сравните с табличными значениями материала.
  4. Учитывайте знак: при сжатии оба значения меняются согласованно по знаку.
  5. Если данных недостаточно, используйте табличное значение.

Историческая справка

Концепция модуля Юнга связана с развитием теории упругости и материаловедения. С практической точки зрения это величина, которая стала стандартизироваться при классификации металлов, полимеров и композитов.

Пример

Если σ = 120 МПа, ε = 0,0006, то E = 120·10^6 / 0,0006 = 2·10^11 Па = 200 ГПа.

Частая ошибка

Не путайте модуль упругости E с пределом прочности. Типичная ошибка — брать единицы в ГПа и подставлять к Па в том же выражении без перевода.

Практика

Задачи с решением

Определение модуля по испытанию

Условие. Для стержня получено σ=160 МПа и ε=0,0008.

Решение. E=160·10^6 / 0,0008 = 2,0·10^11 Па.

Ответ. E = 200 ГПа.

Проверка согласованности

Условие. Для стали E_табл = 210 ГПа, испытание дает 205 ГПа. Оцените отклонение.

Решение. Девиация по модулю около 2,4 % ниже табличной.

Ответ. Допустимая погрешность допустима для учебного расчета; проверка на корректность измерений.

Дополнительные источники

  • Hibbeler, Mechanics of Materials, 10th ed., Pearson
  • Gere, Jr. and Goodno, Mechanics of Materials, Cengage
  • Callister, Materials Science and Engineering, Wiley

Связанные формулы

Инженерия

Закон Гука для стержня

$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$

В пределах упругой области удлинение стержня пропорционально нагрузке, длине и обратно пропорционально площади сечения и модулю Юнга.

Инженерия

Относительная деформация

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$

Относительная деформация показывает, насколько меняется длина элемента по отношению к первоначальной длине.

Инженерия

Нормальное напряжение

$\sigma = \frac{F}{A}$

Нормальное напряжение показывает, как нормальная сила распределяется по площади поперечного сечения.