Все формулы РФ

Финансы / Проценты и дисконтирование

Внутренняя норма доходности IRR как уравнение

IRR - это такая ставка дисконтирования, при которой NPV денежного потока равна нулю, то есть приведенные поступления ровно покрывают приведенные вложения.

Опубликовано: Обновлено:

Проценты и дисконтированиеБазовые финансовые расчетыСтоимость денег во времениДисконтирование

Формула

$$0=\sum_{t=0}^{n}\frac{CF_t}{(1+IRR)^t}$$

Обозначения

$IRR$
внутренняя норма доходности, корень уравнения NPV = 0, доля единицы за период
$CF_t$
денежный поток в период t со знаком, рубли или другая валюта
$t$
номер периода денежного потока, периоды
$n$
последний период денежного потока, периоды

Условия применения

  • Денежные потоки записаны по периодам и со знаками.
  • Периоды между потоками равны, если используется обычная IRR без календарной XIRR.
  • Для стандартного проекта обычно есть один начальный отрицательный поток и последующие положительные потоки.
  • Сравнение с требуемой доходностью корректно только при одинаковом периоде ставки.

Ограничения

  • При смене знака денежных потоков несколько раз уравнение может иметь несколько IRR или не иметь экономически полезного решения.
  • IRR не показывает абсолютный размер создаваемой стоимости и может проигрывать NPV при проектах разного масштаба.
  • Показатель предполагает реинвестирование промежуточных потоков в логике найденной ставки, что может быть нереалистично.
  • Для нерегулярных дат потоков используют XIRR или прямой расчет NPV по календарным интервалам.

Подробное объяснение

IRR определяется через уравнение NPV = 0. Мы берем те же денежные потоки, что и в расчете чистой приведенной стоимости, но ставка неизвестна. Нужно найти такую ставку, при которой сумма приведенных значений всех потоков, включая начальную инвестицию, становится равной нулю.

Для одного будущего платежа уравнение решается вручную. Для нескольких периодов оно превращается в полиномиальное или нелинейное уравнение, поэтому на практике IRR обычно находят численным подбором, финансовым калькулятором или функцией электронной таблицы.

Интерпретация проста только для стандартного проекта: сначала один отрицательный поток, затем положительные поступления. Если IRR выше требуемой доходности, проект выглядит привлекательным, потому что при требуемой ставке его NPV будет положительной. Если IRR ниже требуемой доходности, NPV будет отрицательной.

Но IRR имеет важные ловушки. Она выражает доходность в процентах, а не абсолютную сумму стоимости. Поэтому проект с IRR 40% может добавить меньше денег, чем крупный проект с IRR 15%. Кроме того, нестандартные потоки могут дать несколько IRR, и тогда показатель перестает быть однозначным правилом.

Хорошая практика - считать IRR как дополнительный язык к NPV, а не замену NPV. IRR помогает говорить о пороговой ставке, но решение об инвестиции должно учитывать денежные суммы, риск, масштаб, ограничения капитала и сценарии.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите денежные потоки CF_t по периодам и со знаками.
  2. Составьте уравнение NPV = 0 с неизвестной ставкой IRR.
  3. Для простого одного периода решите уравнение алгебраически.
  4. Для нескольких периодов используйте численный метод или финансовую функцию.
  5. Сравните найденную IRR с требуемой доходностью того же периода.
  6. Проверьте знаки потоков и возможность нескольких решений.

Историческая справка

Внутренняя норма доходности стала популярной вместе с развитием capital budgeting и финансового анализа проектов в XX веке. Идея найти ставку, которая обнуляет приведенную стоимость, естественно следует из дисконтирования, но практическое распространение IRR связано с финансовыми калькуляторами, таблицами и управленческими процедурами отбора проектов. Процентный вид показателя сделал его удобным для обсуждения с менеджерами и инвесторами, однако учебники корпоративных финансов постоянно подчеркивают ограничения IRR. Особенно важны проблемы нескольких корней при нестандартных потоках и конфликт ранжирования с NPV. Поэтому современная традиция использует IRR как полезный, но вспомогательный показатель рядом с NPV.

Историческая линия формулы

IRR не имеет единственного автора. Это метод из традиции дисконтированных денежных потоков и инвестиционного анализа. Его современное применение связано с развитием корпоративных финансов, финансовых калькуляторов и процедур оценки капитальных вложений.

Пример

Проект требует 1 000 000 рублей сегодня и дает 1 200 000 рублей через год. Уравнение IRR: 0 = -1 000 000 + 1 200 000/(1+IRR). Переносим: 1 + IRR = 1 200 000 / 1 000 000 = 1,2, значит IRR = 0,20, или 20% за год. Проверка через NPV: при ставке 20% будущий поток имеет текущую стоимость 1 000 000 рублей, поэтому NPV равна нулю. Если требуемая доходность ниже 20%, проект будет иметь положительную NPV; если выше - отрицательную.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать IRR среднегодовой бухгалтерской прибылью, хотя это корень уравнения дисконтированных денежных потоков. Вторая ошибка - сравнивать проекты только по IRR и игнорировать, что меньший проект может иметь высокий процент, но низкую добавленную стоимость. Третья ошибка - не замечать несколько смен знака потоков и возможные несколько корней. Еще одна ошибка - использовать IRR как ставку дисконтирования без проверки риска и альтернативной стоимости капитала.

Практика

Задачи с решением

Один будущий платеж

Условие. Инвестиция сегодня 1 000 000 рублей, поступление через год 1 200 000 рублей. Найдите IRR.

Решение. 0 = -1 000 000 + 1 200 000/(1+IRR). Тогда 1+IRR = 1,2, IRR = 0,20.

Ответ. 20% за год

Два равных поступления

Условие. Проект требует 1 000 рублей сегодня и дает по 600 рублей в конце первого и второго года. Найдите IRR.

Решение. 0 = -1000 + 600/(1+r) + 600/(1+r)^2. Пусть x = 1+r. Тогда 1000x^2 = 600x + 600. Положительный корень x ≈ 1,13066, значит r ≈ 0,13066.

Ответ. примерно 13,07% годовых

Дополнительные источники

  • Brealey, Myers, Allen, Principles of Corporate Finance, раздел Internal Rate of Return
  • Aswath Damodaran, Applied Corporate Finance, investment decision rules
  • OpenStax Principles of Finance, раздел Internal Rate of Return

Связанные формулы

Финансы

Сложные проценты с ежегодной капитализацией

$FV=P(1+r)^n$

Формула сложных процентов показывает будущую стоимость суммы, когда проценты после каждого периода добавляются к капиталу и в следующих периодах тоже участвуют в начислении.