Инженерия / Инженерные измерения

Среднее значение серии измерений

Среднее значение серии измерений используют как оценку результата, когда одну и ту же величину измеряют несколько раз и хотят уменьшить влияние случайного разброса.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i

График серии Измерения вокруг среднего

Точки повторных измерений расположены выше и ниже горизонтальной линии среднего значения.

Среднее сглаживает случайный разброс, но не заменяет анализ разброса.

Обозначения

$\bar{x}$: среднее значение серии, единица измеряемой величины
$x_i$: отдельный результат измерения, единица измеряемой величины
$n$: число измерений в серии, безразмерная величина

Условия применения

Измерения относятся к одной и той же величине при сопоставимых условиях.
Серия не содержит явных грубых ошибок, которые нужно отдельно расследовать.
Разброс результатов считается в основном случайным, а систематические смещения анализируются отдельно.

Ограничения

Среднее может скрыть тренд, дрейф прибора или изменение объекта во времени.
При выбросах среднее сильно смещается, поэтому иногда нужны медиана, контрольные карты или анализ причин выбросов.
Среднее само по себе не показывает надежность результата: рядом нужно указывать разброс или неопределенность.

Подробное объяснение

Среднее значение - базовый способ сжать серию повторных измерений в одно число. Если случайные отклонения то завышают, то занижают показания, их сумма частично компенсируется, и среднее часто оказывается устойчивее одного отдельного результата. Именно поэтому в лабораториях и на производстве редко доверяют единственному измерению, когда от результата зависит решение.

Однако среднее полезно только при правильной организации серии. Повторные измерения должны относиться к одному объекту и одной измеряемой величине. Если температура детали растет, давление падает или оператор меняет способ установки прибора, простое среднее смешивает разные состояния. Тогда оно может быть математически посчитано верно, но инженерно ничего не объяснять.

Среднее является первым шагом статистической обработки. После него обычно считают стандартное отклонение, стандартную неопределенность среднего и, при необходимости, расширенную неопределенность. Эти величины отвечают на вопрос, насколько надежна оценка среднего. Без них среднее выглядит слишком уверенно: число может иметь много знаков после запятой, но фактическая неопределенность может быть намного больше.

В инженерной документации среднее нужно записывать с разумным округлением и вместе с условиями измерения. Если серия была сделана штангенциркулем с разрешением 0,01 мм, результат с шестью знаками после запятой создаст ложную точность. Правильный смысл среднего появляется только вместе с прибором, методикой, количеством повторений и оценкой разброса.

Как пользоваться формулой

Соберите серию повторных измерений одной величины.
Проверьте, нет ли явных грубых ошибок или изменения условий.
Сложите все результаты измерений.
Разделите сумму на число измерений.
Используйте среднее как итог серии и переходите к оценке разброса.

Историческая справка

Среднее арифметическое использовалось задолго до современной инженерной статистики, но особенно важным стало в астрономии, геодезии, физике и промышленной метрологии. Повторные наблюдения помогали уменьшать влияние случайных ошибок, а развитие теории ошибок в XVIII-XIX веках придало усреднению строгий математический смысл. В XX веке среднее стало частью стандартной обработки измерительных процессов, контроля качества и лабораторных протоколов. Сегодня оно остается первым расчетом в серии измерений, но современные руководства требуют не останавливаться на нем: результат измерения должен сопровождаться оценкой неопределенности и описанием условий наблюдения.

Пример

Диаметр детали измерили пять раз: 20,02 мм, 20,01 мм, 20,03 мм, 20,00 мм и 20,04 мм. Сумма измерений равна 100,10 мм, поэтому среднее значение равно 100,10 / 5 = 20,02 мм. Это число удобно записать как итог серии, но оно не означает, что истинный размер точно равен 20,02 мм. Нужно еще посмотреть разброс: все значения лежат в интервале от 20,00 до 20,04 мм, значит серия выглядит стабильной для грубой оценки. Если бы одно значение было 20,30 мм, простое среднее стало бы подозрительным, и измерение пришлось бы проверять.

Частая ошибка

Частая ошибка - усреднять измерения, полученные в разных условиях, например до и после нагрева детали, без отдельного анализа. Вторая ошибка - удалять неудобное значение только потому, что оно портит среднее. Выброс можно исключать лишь по методике или после понятной причины. Третья ошибка - округлять каждое измерение слишком грубо до усреднения. Также нельзя считать, что большое число повторений автоматически устраняет систематическую ошибку прибора: если прибор смещен, среднее будет стабильно смещенным.

Практика

Задачи с решением

Средний диаметр

Условие. Получены значения 12,01 мм, 12,03 мм, 12,02 мм и 12,00 мм. Найдите среднее.

Решение. Сумма равна 48,06 мм. Делим на 4: x_bar = 48,06 / 4 = 12,015 мм. В отчете результат можно округлить с учетом неопределенности.

Ответ. 12,015 мм

Средняя температура

Условие. Датчик показал 80,1 °C, 80,3 °C, 80,2 °C, 80,4 °C и 80,0 °C. Найдите среднее значение.

Решение. Сумма равна 401,0 °C. Делим на 5: x_bar = 80,2 °C.

Ответ. 80,2 °C

Дополнительные источники

NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook, Measurement Process Characterization
NIST Technical Note 1297, Type A evaluation of standard uncertainty
JCGM 100:2008, statistical evaluation of measurement data

Связанные формулы

Инженерия

Стандартное отклонение серии измерений

$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$

Стандартное отклонение серии измерений оценивает разброс отдельных результатов вокруг среднего и показывает повторяемость измерительного процесса.

Инженерия

Стандартная неопределенность среднего

$u_A(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$

Стандартная неопределенность среднего показывает, насколько надежно среднее серии измерений оценивает измеряемую величину при случайном разбросе наблюдений.

Инженерия

Расширенная неопределенность измерения

$U=k\,u_c$

Расширенная неопределенность равна комбинированной стандартной неопределенности, умноженной на коэффициент охвата, и используется для записи результата измерения интервалом.