Инженерия / Инженерные измерения

Распространение неопределенности произведения и частного

Для произведения и частного независимых величин удобно складывать относительные стандартные неопределенности по квадратам, а затем умножать результат на модуль итоговой величины.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\frac{u_y}{|y|}=\sqrt{\left(\frac{u_a}{a}\right)^2+\left(\frac{u_b}{b}\right)^2},\quad y=a\,b\ \text{или}\ y=\frac{a}{b}

Схема относительных вкладов Относительные неопределенности в произведении

Два входа показаны как процентные вклады, которые объединяются в итоговую относительную неопределенность результата.

Для произведений и частных масштаб ошибки удобнее считать в относительных величинах.

Обозначения

$u_y$: стандартная неопределенность результата, единица результата
$y$: результат произведения или частного, зависит от формулы
$u_a, u_b$: стандартные неопределенности входных величин, единицы a и b
a, b: измеренные входные величины, соответствующие единицы

Условия применения

Входные величины независимы или корреляцией можно пренебречь.
Относительные неопределенности малы настолько, что линейное приближение применимо.
Величины a и b не равны нулю, потому что используются относительные вклады.

Ограничения

При больших относительных неопределенностях или нелинейных эффектах нужно проверять модель точнее.
Для степеней и коэффициентов показатели степени входят как множители относительных неопределенностей.
Если входы коррелированы, простая формула без ковариаций может дать неверный результат.

Подробное объяснение

Произведение и частное лучше анализировать через относительные изменения. Если длина изменилась на 0,1%, а ширина на 0,2%, площадь изменится примерно на сумму этих малых относительных вкладов, но для неопределенностей независимые вклады складываются по квадратам. Поэтому формула работает с отношениями u_a/a и u_b/b.

Главное достоинство такого вида - он показывает, какой вход доминирует. В примере с площадью абсолютная неопределенность длины может быть больше, но относительный вклад ширины оказывается сильнее, потому что сама ширина меньше. Это помогает улучшать измерение рационально: иногда выгоднее точнее измерить меньший размер, а не тот, где абсолютная ошибка выглядит крупнее.

Формула является линейным приближением закона распространения неопределенности. Она хорошо работает для малых относительных неопределенностей и гладких функций. Если неопределенности велики, распределение результата может стать заметно несимметричным, особенно для частного. Тогда применяют более подробную модель, численное моделирование или специальные методы оценки.

В инженерных расчетах важно не смешивать стандартные и расширенные неопределенности. Если входы даны как U при k = 2, их нужно сначала привести к стандартным u, если это допустимо по методике. После расчета стандартной неопределенности результата можно снова получить расширенную неопределенность, умножив на выбранный коэффициент охвата.

Как пользоваться формулой

Посчитайте значение результата y по формуле произведения или частного.
Переведите входные неопределенности в стандартные, если они даны как расширенные.
Разделите каждую стандартную неопределенность на соответствующее значение входной величины.
Сложите квадраты относительных вкладов и извлеките корень.
Умножьте относительную стандартную неопределенность на модуль результата.

Историческая справка

Правила распространения ошибок для произведений и частных появились из общей задачи: как оценить надежность результата, если он вычислен по нескольким измеренным входам. В классической теории ошибок такие правила выводили через дифференцирование функций и предположения о малых независимых ошибках. Современная метрология использует тот же принцип, но говорит о стандартных неопределенностях, модели измерения и коэффициентах чувствительности. В инженерии эта формула стала особенно важной, потому что большинство прикладных величин - площадь, объем, плотность, скорость, мощность - получаются именно через умножение и деление измеренных величин. Относительная форма делает такие расчеты удобными даже при разных единицах входов.

Историческая линия формулы

Формула является частным случаем закона распространения неопределенности. Ее нельзя приписать одному автору: она сформировалась на основе теории ошибок, математического анализа и международной метрологической практики GUM.

Пример

Площадь прямоугольной пластины считают как S = L * W. Длина L = 200,0 мм со стандартной неопределенностью 0,2 мм, ширина W = 50,0 мм со стандартной неопределенностью 0,1 мм. Площадь S = 10000 мм². Относительная стандартная неопределенность равна sqrt((0,2/200,0)^2 + (0,1/50,0)^2) = sqrt(0,001^2 + 0,002^2) ≈ 0,00224. Тогда u_S = 10000 * 0,00224 ≈ 22,4 мм². Видно, что ширина дает больший относительный вклад, хотя ее абсолютная неопределенность меньше. Такой расчет подсказывает, какое измерение стоит улучшать в первую очередь.

Частая ошибка

Распространенная ошибка - складывать абсолютные неопределенности при умножении величин с разными единицами. Для площади нельзя просто сложить миллиметры неопределенности длины и ширины и получить квадратные миллиметры. Вторая ошибка - забывать, что при делении относительные неопределенности тоже складываются, а не вычитаются. Третья ошибка - игнорировать степень: если y = a^2, относительный вклад равен 2 u_a / a. Также нельзя применять формулу при нулевом или почти нулевом знаменателе без отдельного анализа.

Практика

Задачи с решением

Плотность по массе и объему

Условие. Масса m = 120,0 г с u_m = 0,2 г, объем V = 50,0 см³ с u_V = 0,3 см³. Найдите относительную стандартную неопределенность плотности rho = m/V.

Решение. Относительная неопределенность равна sqrt((0,2/120,0)^2 + (0,3/50,0)^2) ≈ sqrt(0,00167^2 + 0,006^2) ≈ 0,00623, то есть 0,623%.

Ответ. примерно 0,00623 или 0,623%

Площадь листа

Условие. Длина листа 1,200 м с u = 0,002 м, ширина 0,800 м с u = 0,001 м. Оцените стандартную неопределенность площади.

Решение. S = 1,200 * 0,800 = 0,960 м². Относительная u = sqrt((0,002/1,200)^2 + (0,001/0,800)^2) ≈ 0,00208. u_S = 0,960 * 0,00208 ≈ 0,0020 м².

Ответ. примерно 0,0020 м²

Дополнительные источники

NIST Technical Note 1297, Appendix A: Law of Propagation of Uncertainty
JCGM 100:2008, law of propagation of uncertainty
NIST Statistical Engineering Division, Measurement Uncertainty

Связанные формулы

Инженерия

Распространение неопределенности суммы и разности

$u_y=\sqrt{u_a^2+u_b^2},\quad y=a\pm b$

Для суммы или разности независимых величин стандартные неопределенности складываются по квадратам, поэтому итоговая неопределенность больше каждой отдельной составляющей.

Инженерия

Относительная погрешность измерения

$\delta = \frac{\Delta x}{|x_{\text{ref}}|}\cdot 100\%$

Относительная погрешность показывает, какую долю от измеряемого или опорного значения составляет абсолютная погрешность, поэтому удобна для сравнения измерений разного масштаба.

Инженерия

Расширенная неопределенность измерения

$U=k\,u_c$

Расширенная неопределенность равна комбинированной стандартной неопределенности, умноженной на коэффициент охвата, и используется для записи результата измерения интервалом.