Все формулы РФ

Физика / Механика

Ускорение свободного падения через массу и радиус планеты

Ускорение свободного падения у поверхности планеты равно произведению гравитационной постоянной на массу планеты, деленному на квадрат ее радиуса.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМеханикаДинамикаМеханическое движениеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$g=G\frac{M}{R^2}$$
Планета g зависит от массы планеты и расстояния до центра
Rgу поверхности r = R

Радиус входит в квадрате, поэтому высота быстро ослабляет гравитационное ускорение.

Обозначения

$g$
ускорение свободного падения у поверхности, м/с^2
$G$
гравитационная постоянная, Н*м^2/кг^2
$M$
масса планеты или небесного тела, кг
$R$
радиус планеты, м

Условия применения

  • Планета рассматривается как сферически симметричное тело.
  • Точка находится около поверхности, поэтому расстояние до центра равно примерно R.
  • Сопротивление атмосферы и вращение планеты не учитываются.

Ограничения

  • На большой высоте нужно использовать расстояние R + h, а не только радиус планеты.
  • Реальное g немного меняется с широтой, высотой и геологическим строением планеты.
  • Формула описывает гравитационное ускорение, но не учитывает выталкивающую силу или сопротивление среды.

Подробное объяснение

Формула получается из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона. Сила притяжения тела массой m планетой массой M у поверхности равна F = GMm/R^2. С другой стороны, эта же сила сообщает телу ускорение g, поэтому F = mg. Приравнивая выражения, получаем mg = GMm/R^2. Масса падающего тела сокращается, и остается g = GM/R^2.

Это сокращение массы объясняет, почему в идеальной модели без сопротивления воздуха все тела падают с одинаковым ускорением. Тяжелое тело притягивается сильнее, но его труднее ускорить ровно в той же пропорции. Поэтому гравитационное ускорение у поверхности зависит от планеты, а не от массы падающего предмета.

Формула также показывает, почему на Луне g меньше, чем на Земле: масса Луны значительно меньше земной. Для планет важно учитывать и массу, и радиус. Большая масса увеличивает g, большой радиус уменьшает g у поверхности. В задачах на орбиты эту же идею используют на расстоянии r от центра: g(r) = GM/r^2.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите массу планеты M в килограммах.
  2. Запишите радиус R в метрах.
  3. Подставьте гравитационную постоянную G.
  4. Разделите GM на квадрат радиуса.
  5. Если тело находится на высоте, замените R на R + h.

Историческая справка

Значение ускорения свободного падения долго изучали экспериментально через падение тел и маятники. Галилей показал, что свободное падение можно описывать как равноускоренное движение, а Ньютон связал это ускорение с универсальным законом тяготения. После появления закона всемирного тяготения стало ясно, почему g не является произвольной земной величиной: оно определяется массой Земли и расстоянием до ее центра. Позднее измерения гравитационной постоянной и уточнение параметров Земли позволили получать численное значение g из GM/R^2. В школьной физике эта формула важна тем, что соединяет привычные задачи о весе и падении с планетной механикой и показывает, как изменится гравитация на других небесных телах.

Историческая линия формулы

Формула g = GM/R^2 является следствием закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона. Экспериментальное понимание свободного падения связано с Галилеем, а универсальная гравитационная интерпретация - с Ньютоном.

Пример

Оценим ускорение свободного падения у поверхности Земли. Подставим G = 6,67*10^-11 Н*м^2/кг^2, M = 5,97*10^24 кг, R = 6,37*10^6 м. g = GM/R^2 = 6,67*10^-11 * 5,97*10^24 / (6,37*10^6)^2. Получается примерно 9,8 м/с^2. Если радиус планеты такой же, но масса в 2 раза больше, g тоже будет в 2 раза больше. Если масса та же, но радиус в 2 раза больше, g станет в 4 раза меньше, потому что радиус входит в квадрате. Поэтому для сравнения планет нельзя смотреть только на массу: компактная планета может иметь большое g даже при меньшей массе.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять радиус в километрах вместе с G в единицах СИ. Радиус Земли 6370 км нужно записывать как 6,37*10^6 м. Вторая ошибка - считать g универсальной постоянной: 9,8 м/с^2 относится к поверхности Земли и меняется для других планет. Еще одна ошибка - на высоте h использовать R вместо R + h; для спутника это дает завышенное ускорение, особенно если высота сравнима с радиусом планеты.

Практика

Задачи с решением

Удвоенная масса

Условие. У двух планет одинаковый радиус, но масса второй в 2 раза больше. Как изменится g у поверхности?

Решение. g = GM/R^2. При одинаковом R ускорение прямо пропорционально M, значит g увеличится в 2 раза.

Ответ. увеличится в 2 раза

Высота над планетой

Условие. На расстоянии 2R от центра планеты тело находится вдвое дальше, чем у поверхности. Как изменится g по сравнению с поверхностью?

Решение. g пропорционально 1/r^2. При r = 2R ускорение станет в 4 раза меньше.

Ответ. уменьшится в 4 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Newton's Universal Law of Gravitation
  • OpenStax College Physics 2e, раздел Satellites and Kepler's Laws: An Argument for Simplicity

Связанные формулы

Физика

Закон всемирного тяготения

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

Сила гравитационного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс.

Физика

Первая космическая скорость

$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$

Первая космическая скорость у поверхности планеты равна корню из GM/R или, если известно g у поверхности, корню из gR для круговой орбиты.

Физика

Сила тяжести

$F_{\text{тяж}}=mg$

Сила тяжести равна произведению массы тела на ускорение свободного падения и направлена к Земле. В школьных задачах ее считают в ньютонах.