Физика / Электричество

Радиус движения заряда в магнитном поле

Если заряженная частица движется перпендикулярно однородному магнитному полю, магнитная сила играет роль центростремительной силы, а радиус окружности равен произведению массы и скорости, деленному на модуль заряда и магнитную индукцию.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по физике за 11 класс Формулы по физике для ЕГЭ Электричество Магнитное поле Калькулятор Есть историческая справка

Формула

R=\frac{mv}{|q|B}

схема Магнитная сила как центростремительная

Радиус тем меньше, чем сильнее поле и чем больше заряд.

Обозначения

$R$: радиус круговой траектории частицы, м
$m$: масса частицы, кг
$v$: скорость частицы, перпендикулярная полю, м/с
$|q|$: модуль заряда частицы, Кл
$B$: магнитная индукция поля, Тл

Условия применения

Скорость частицы перпендикулярна магнитному полю; если есть параллельная составляющая, формула описывает радиус винтовой траектории.
Магнитное поле однородно на области движения частицы.
Другие силы, например электрическая сила или сила тяжести, не меняют заметно траекторию на рассматриваемом участке.

Ограничения

Формула записана для нерелятивистского движения; при очень больших скоростях вместо mv используют релятивистский импульс.
Она не определяет направление вращения: направление зависит от знака заряда и взаимного расположения скорости и поля.
Если скорость имеет компоненту вдоль поля, частица движется не по плоской окружности, а по винтовой линии с тем же поперечным радиусом.

Подробное объяснение

Радиус траектории получается из равенства двух выражений для одной и той же силы. С одной стороны, магнитная сила Лоренца при перпендикулярном движении равна |q|vB. С другой стороны, для движения по окружности центростремительная сила равна mv^2/R. Магнитная сила как раз направлена перпендикулярно скорости, поэтому она подходит на роль центростремительной силы.

Приравниваем |q|vB = mv^2/R и сокращаем одну скорость v. Отсюда R = mv/(|q|B). Эта запись показывает физический смысл: тяжелую или быстро движущуюся частицу труднее заметно повернуть, поэтому радиус больше. Частицу с большим зарядом или в более сильном магнитном поле поле отклоняет сильнее, поэтому радиус меньше.

Формула особенно полезна в сравнительных задачах. Если две частицы имеют одинаковую скорость и движутся в одном поле, отношение радиусов равно отношению m/|q|. Поэтому масс-спектрометр может разделять частицы по отношению массы к заряду: разные ионы отклоняются на разные радиусы.

Магнитная сила не совершает работу над частицей, потому что она перпендикулярна мгновенной скорости. Поэтому модуль скорости остается постоянным, а меняется только направление. Это объясняет, почему траектория при идеальных условиях является окружностью, а не спиралью с убывающим радиусом. Спираль в школьных задачах появляется только тогда, когда у скорости есть компонента вдоль поля: поперечное движение остается круговым, а вдоль поля частица движется равномерно.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что движение перпендикулярно полю; при движении под углом найдите поперечную скорость v sin alpha.
Переведите массу в килограммы, заряд в кулоны, магнитную индукцию в тесла.
Подставьте значения в R = mv/(|q|B), используя модуль заряда.
Если нужно направление движения, определите его отдельно по знаку заряда и правилу для силы Лоренца.
Оцените результат: более сильное поле должно давать меньший радиус.

Историческая справка

Формула радиуса движения заряженной частицы появилась после того, как электромагнетизм начал описывать не только токи в проводниках, но и отдельные заряды. Работы Фарадея и Максвелла дали язык поля, а электронная теория Лоренца позволила рассматривать микроскопические частицы как носители заряда, испытывающие силу в электрических и магнитных полях. Для школьного вывода понадобилась еще одна уже известная часть физики - механика движения по окружности.

Когда стало понятно, что магнитная сила перпендикулярна скорости, естественно было приравнять ее к центростремительной силе. Так возникла расчетная формула, важная для приборов, где траектория заряженных частиц используется как способ измерения. В масс-спектрометрии и ускорительной технике радиус движения связывает массу, заряд, скорость и магнитное поле.

Историческая линия формулы

Формула радиуса не принадлежит одному автору в узком смысле: она соединяет магнитную часть силы Лоренца с ньютоновской механикой кругового движения. Лоренц важен для силы, действующей на заряд, а механическая часть вывода опирается на центростремительное ускорение и второй закон Ньютона.

Пример

Протон массой 1,67 * 10^-27 кг влетает перпендикулярно в магнитное поле B = 0,5 Тл со скоростью 2,0 * 10^6 м/с. Модуль заряда протона равен 1,6 * 10^-19 Кл. Подставим: R = mv/(|q|B) = 1,67 * 10^-27 * 2,0 * 10^6 / (1,6 * 10^-19 * 0,5). Числитель равен 3,34 * 10^-21, знаменатель равен 8,0 * 10^-20. Получаем R = 0,04175 м, то есть примерно 4,2 см. Радиус увеличился бы при большей скорости и уменьшился бы при более сильном магнитном поле. Проверка смысла: протон тяжелее электрона, поэтому при сравнимых условиях его траектория изгибается заметно слабее.

Частая ошибка

Часто забывают, что в формулу входит только скорость, перпендикулярная магнитному полю. Если частица летит под углом, сначала нужно взять v_perp = v sin alpha. Вторая ошибка - использовать заряд со знаком и получать отрицательный радиус; радиус всегда положителен, знак заряда отвечает за направление закручивания. Третья ошибка - путать массу частицы с молярной массой или массой вещества. В задачах о частицах масса должна быть в килограммах для одной частицы.

Практика

Задачи с решением

Электрон в слабом поле

Условие. Электрон массой 9,1 * 10^-31 кг движется со скоростью 1,0 * 10^6 м/с перпендикулярно полю 0,01 Тл. Найдите радиус.

Решение. R = mv/(eB) = 9,1 * 10^-31 * 1,0 * 10^6 / (1,6 * 10^-19 * 0,01) = 5,7 * 10^-4 м.

Ответ. примерно 0,57 мм

Сравнение радиусов

Условие. Две частицы с одинаковым зарядом и одинаковой скоростью движутся в одном поле. Масса второй в 3 раза больше массы первой. Во сколько раз больше радиус?

Решение. R пропорционален m при одинаковых v, |q| и B. Поэтому R2/R1 = 3.

Ответ. в 3 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

mvqAbsB

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax College Physics 2e, 22.4 Magnetic Field Strength: Force on a Moving Charge in a Magnetic Field
OpenStax College Physics 2e, 6.2 Centripetal Acceleration
ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по физике 2026, магнитное поле

Связанные формулы

Физика

Сила Лоренца в магнитном поле

$F=|q|vB\sin\alpha$

Сила Лоренца показывает модуль магнитной силы, действующей на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле. Она зависит от модуля заряда, скорости частицы, магнитной индукции и угла между скоростью и полем.

Физика

Центростремительная сила

$F_c=m\frac{v^2}{R}=m\omega^2R$

Центростремительная сила равна произведению массы на центростремительное ускорение, направлена к центру окружности и является радиальной равнодействующей.

Физика

Линейная скорость при равномерном движении по окружности

$v=\frac{2\pi R}{T}$

Линейная скорость при равномерном движении по окружности равна длине окружности, пройденной за один оборот, деленной на период обращения.

Физика

Сила Ампера для прямого проводника в магнитном поле

$F=BIl\sin\alpha$

Сила Ампера показывает, с какой силой магнитное поле действует на участок проводника с током. Она зависит от индукции поля, силы тока, длины активной части проводника и угла между направлением тока и линиями магнитного поля.