Все формулы РФ

Строительство / Нагрузки и конструкции

Поперечная сила в балке

Поперечная сила в сечении балки равна алгебраической сумме вертикальных сил по одну сторону от сечения. Для простой схемы слева это реакция опоры минус распределенная нагрузка и точечные силы, расположенные левее сечения.

Опубликовано: Обновлено:

Нагрузки и конструкцииСтроительствоМеханикаКалькулятор

Формула

$$V(x)=R_A-qx-\sum P_i\quad \text{для нагрузок слева от сечения}$$
Эпюра поперечной силы Сечение балки и силы слева

Показана балка с разрезом на расстоянии x, реакцией R_A, равномерной нагрузкой q и ступенчатой эпюрой V.

В сечении учитывают только силы выбранной отсеченной части балки.

Обозначения

$V(x)$
поперечная сила в сечении на расстоянии x от левой опоры, Н или кН
$R_A$
реакция левой опоры, Н или кН
$q$
равномерная нагрузка на участке от опоры до сечения, Н/м или кН/м
$x$
расстояние от левой опоры до сечения, м
$P_i$
сосредоточенные силы левее рассматриваемого сечения, Н или кН

Условия применения

  • Реакция R_A уже найдена из условий равновесия балки.
  • В сумму P_i включаются только силы, расположенные слева от рассматриваемого сечения.
  • Знаки сил выбраны согласованно: вверх положительно, вниз отрицательно для левой части.
  • Распределенная нагрузка q действует на длине x или на известной части этой длины.

Ограничения

  • Для нескольких участков с разными q формулу записывают по частям.
  • В точке сосредоточенной силы эпюра V имеет скачок, поэтому значения слева и справа различаются.
  • Поперечная сила не заменяет проверку сечения на изгиб, срез, устойчивость и прогиб.
  • Для сложных рам и неразрезных балок внутренние усилия определяются общей расчетной моделью.

Подробное объяснение

Поперечная сила - это внутреннее усилие, которое удерживает отсеченную часть балки в вертикальном равновесии. Если мысленно разрезать балку в сечении x и рассмотреть левую часть, все внешние вертикальные силы на этой части должны быть уравновешены внутренней силой V. Поэтому V выражается как алгебраическая сумма сил слева от разреза.

Для равномерной нагрузки q на длине x сила от распределенной нагрузки равна qx и направлена вниз. Если реакция R_A направлена вверх, то V(x) = R_A - qx. Если левее сечения есть сосредоточенная сила P, она дополнительно уменьшает V на величину P. В точке приложения такой силы эпюра делает скачок.

Эпюра поперечной силы тесно связана с изгибающим моментом. Наклон эпюры момента равен поперечной силе, а там, где V меняет знак, момент часто достигает максимума или минимума. Поэтому без V трудно понять форму эпюры M.

Формула обычно записывается по участкам. До первой точечной силы одна запись, после нее другая; на участке без распределенной нагрузки V постоянна, а под равномерной нагрузкой меняется линейно. Такая поучастковая логика важнее запоминания одной универсальной строки.

В строительной практике поперечная сила нужна для проверки среза, опорных зон, стенок балок, хомутов и узлов. Но сама эпюра еще не является проектным решением: материал, сечение, коэффициенты и нормы проверяются отдельно.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите реакции опор расчетной схемы.
  2. Выберите сечение x и сторону, которую будете рассматривать.
  3. Запишите все вертикальные силы на выбранной стороне.
  4. Сложите их с учетом знаков и получите V(x).
  5. Повторите расчет по участкам и отметьте скачки от точечных сил.

Историческая справка

Понятие поперечной силы сформировалось в сопротивлении материалов как часть внутреннего силового анализа балки. Когда инженеры перешли от общей проверки равновесия к расчету каждого сечения, стало ясно, что внутри балки действуют не только изгибающие моменты, но и силы сдвига. В учебниках XIX и XX веков эпюры поперечных сил стали стандартной парой к эпюрам моментов: сначала реакции, затем V, затем M. Эта последовательность до сих пор лежит в основе ручного расчета балок. Современные программы конечных элементов строят внутренние усилия автоматически, но инженер по-прежнему читает результаты через знакомые эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Историческая линия формулы

У формулы поперечной силы в сечении нет одного автора. Она выводится из равновесия отсеченной части балки и относится к классической школе сопротивления материалов. Атрибуция связана с развитием расчетов балок и эпюр внутренних усилий в инженерной механике.

Пример

Простая балка имеет левую реакцию R_A = 6 кН и равномерную нагрузку q = 2 кН/м по пролету. В сечении на расстоянии x = 2 м от левой опоры поперечная сила V = R_A - qx = 6 - 2*2 = 2 кН. В сечении x = 4 м V = 6 - 2*4 = -2 кН. Смена знака показывает, что где-то между этими сечениями момент достигает экстремума.

Частая ошибка

Частая ошибка - включать в сумму P_i силы справа от сечения при расчете левой части. Вторая ошибка - забывать скачок поперечной силы в точке сосредоточенной нагрузки. Третья ошибка - строить эпюру V до нахождения реакций опор. Еще одна ошибка - считать отрицательную поперечную силу неверной; знак показывает направление внутреннего усилия по принятому правилу.

Практика

Задачи с решением

Сечение под равномерной нагрузкой

Условие. R_A = 5 кН, q = 1 кН/м. Найдите V на расстоянии 3 м от левой опоры.

Решение. V = R_A - qx = 5 - 1*3 = 2 кН.

Ответ. 2 кН

Сила слева от сечения

Условие. R_A = 8 кН, q = 1,5 кН/м, на расстоянии 2 м слева от сечения есть P = 3 кН. Сечение x = 4 м.

Решение. V = 8 - 1,5*4 - 3 = 8 - 6 - 3 = -1 кН.

Ответ. -1 кН

Дополнительные источники

  • СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия», https://docs.cntd.ru/document/456044318
  • Engineering LibreTexts, shear and moment diagrams, https://eng.libretexts.org/
  • OpenStax University Physics, Static Equilibrium, https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/

Связанные формулы

Строительство

Реакции опор простой балки

$R_A+R_B=\sum F,\qquad R_B=\frac{\sum M_A}{L},\qquad R_A=\sum F-R_B$

Для простой балки на двух опорах реакции находят из равновесия: сумма реакций равна сумме вертикальных нагрузок, а одна реакция определяется из суммы моментов относительно другой опоры.

Строительство

Изгибающий момент простой балки

$\begin{aligned}M_{max}&=\frac{qL^2}{8}\quad \text{для равномерной нагрузки по пролету},\\ M_{max}&=\frac{PL}{4}\quad \text{для силы в середине пролета}.\end{aligned}$

Максимальный изгибающий момент простой балки в двух базовых схемах равен qL2/8 для равномерной нагрузки и PL/4 для сосредоточенной силы в середине пролета. Эти формулы дают быстрый ориентир для изгиба.

Строительство

Суммарная нагрузка на балку

$F_{\Sigma}=qL+\sum_{i=1}^{n}P_i$

Суммарная вертикальная нагрузка на балку равна силе от равномерной нагрузки плюс сумма всех сосредоточенных сил. Это первый баланс перед расчетом реакций опор.