Машиностроение / Детали машин

Напряжение изгиба круглого вала

Максимальное нормальное напряжение изгиба в сплошном круглом валу зависит от изгибающего момента и куба диаметра, как и напряжение кручения по размерной чувствительности.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\sigma_b=\frac{32M_b}{\pi d^3}

Эпюра изгиба Вал с изгибающим моментом

Вал на двух опорах показан с поперечной силой от колеса, эпюрой изгибающего момента и опасным сечением.

Для формулы нужен момент именно в опасном сечении, а не общий момент привода.

Обозначения

$\sigma_b$: максимальное напряжение изгиба, Па или МПа
$M_b$: изгибающий момент в опасном сечении, Н·м
$d$: диаметр сплошного круглого сечения, м или мм

Условия применения

Сечение круглое, сплошное и работает в упругой области.
Изгибающий момент найден для рассматриваемого сечения по расчетной схеме вала.
Формула относится к гладкому сечению без концентрации напряжений.

Ограничения

Для полого вала или некруглого сечения нужно использовать общий закон sigma = M y / I.
В реальном валу шпоночные пазы, ступени и галтели увеличивают локальные напряжения.
При вращении вала изгиб часто становится циклическим, поэтому нужна усталостная проверка.

Подробное объяснение

Изгиб вала возникает, когда поперечные силы от колес, ремней, цепей, муфт или собственного веса создают изгибающий момент. На одной стороне сечения материал растягивается, на другой сжимается, а около нейтральной оси напряжение меньше. Для круглого сплошного сечения максимальное напряжение возникает на поверхности.

Общая формула изгиба имеет вид sigma = M y / I. Для круга момент инерции I = pi d^4 / 64, а максимальное расстояние до поверхности y = d/2. Подстановка дает sigma_b = 32M_b/(pi d^3). Как и при кручении, диаметр входит в кубе, поэтому небольшое изменение диаметра сильно меняет напряжение.

Расчет изгиба требует сначала построить расчетную схему вала. Нужно определить опоры, силы от передач, расстояния между элементами и реакции опор. Только после этого получают эпюру изгибающих моментов и выбирают опасные сечения. Без этой схемы формула может быть применена к неверному моменту.

Валы часто работают при совместном изгибе и кручении. Изгиб отвечает за нормальные напряжения, кручение - за касательные. Для статической или усталостной проверки их объединяют через критерий прочности, например через эквивалентное напряжение. Поэтому страница изгиба тесно связана с расчетом кручения и комбинированной проверкой.

Как пользоваться формулой

Постройте расчетную схему вала с опорами и силами.
Найдите изгибающий момент в опасном сечении.
Определите диаметр гладкого расчетного сечения.
Подставьте значения в формулу с согласованными единицами.
Учтите концентрации, вращающийся цикл и совместное кручение.

Историческая справка

Теория изгиба балок и валов формировалась в классической механике материалов и стала одной из основ промышленного проектирования. Исторически ее связывают с развитием строительной механики, станкостроения и машин с вращающимися валами. Формула для круглого сечения является частным случаем общей теории изгиба, где напряжение пропорционально изгибающему моменту и расстоянию от нейтральной оси. В машиностроении расчет изгиба стал особенно важен для валов, несущих шкивы, зубчатые колеса и подшипники, потому что эти детали одновременно передают мощность и воспринимают поперечные силы. Поэтому расчет валов почти всегда начинается с силовой схемы и эпюр.

Пример

На опасном сечении вала изгибающий момент равен 180 Н·м, диаметр вала 35 мм. Переводим момент: 180 Н·м = 180000 Н·мм. Напряжение изгиба sigma_b = 32 * 180000 / (pi * 35^3) ≈ 42,8 МПа. Если вал вращается, точка на поверхности попеременно оказывается в растянутой и сжатой зоне, поэтому даже постоянная по направлению внешняя сила может создавать переменный изгибный цикл для материала. Это особенно важно при расчете усталости. Для шпоночного паза или ступени расчетное напряжение дополнительно умножают на коэффициенты концентрации.

Частая ошибка

Частая ошибка - использовать крутящий момент вместо изгибающего или наоборот. Для изгиба нужен момент от поперечных сил, найденный по эпюре. Вторая ошибка - забывать, что вал с зубчатым колесом нагружен не только тангенциальной силой, но и радиальной, а иногда осевой. Третья ошибка - проверять только одно сечение, хотя максимум может быть у ступени или опоры. Также нельзя игнорировать усталость: вращающийся вал при постоянной радиальной нагрузке испытывает переменное напряжение изгиба.

Практика

Задачи с решением

Изгиб вала

Условие. В опасном сечении M_b = 250 Н·м, диаметр 40 мм. Найдите напряжение изгиба.

Решение. 250 Н·м = 250000 Н·мм. sigma_b = 32 * 250000 / (pi * 40^3) ≈ 39,8 МПа.

Ответ. примерно 39,8 МПа

Сравнение диаметров

Условие. При одинаковом изгибающем моменте диаметр увеличили с 30 до 36 мм. Во сколько раз уменьшится напряжение?

Решение. Напряжение обратно пропорционально d^3. Отношение старого напряжения к новому: (36/30)^3 = 1,728. Значит, напряжение уменьшится примерно в 1,73 раза.

Ответ. примерно в 1,73 раза

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 2.72 Elements of Mechanical Design, Lecture 03: Shafts & ways
OpenStax University Physics Volume 1, stress and deformation concepts
Shigley, Mechanical Engineering Design, bending stresses in shafts

Связанные формулы

Машиностроение

Касательное напряжение круглого вала при кручении

$\tau_{\max}=\frac{16M}{\pi d^3}$

Максимальное касательное напряжение в сплошном круглом валу при кручении зависит от крутящего момента и куба диаметра, поэтому диаметр сильно влияет на прочность.

Машиностроение

Эквивалентное напряжение вала при изгибе и кручении

$\sigma_{\text{экв}}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}$

Эквивалентное напряжение по Мизесу объединяет нормальное напряжение изгиба и касательное напряжение кручения в одну величину для проверки пластического состояния.

Машиностроение

Угол закручивания круглого вала

$\varphi=\frac{ML}{GJ},\quad J=\frac{\pi d^4}{32}$

Угол закручивания показывает крутильную жесткость вала: чем больше момент и длина, тем сильнее поворот, а чем больше модуль сдвига и полярный момент, тем вал жестче.