Математика

Алгебра, страница 4

Формулы для уравнений, преобразований, корней, степеней и функций.

219 формул

Таблица формул

Показаны 181-219 из 219. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Линейное уравнение с одной переменной	$ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$	Алгебра	Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.
Пропорция и основное свойство пропорции	$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc$	Алгебра	Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным.
Скорость, время и расстояние	$s=vt,\quad v=\frac{s}{t},\quad t=\frac{s}{v}$	Алгебра	Формулы движения связывают расстояние, скорость и время при равномерном движении. Зная две величины, можно найти третью.
Работа через производительность и время	$A=pt,\quad p=\frac{A}{t},\quad t=\frac{A}{p}$	Алгебра	В задачах на работу объем выполненной работы равен производительности, умноженной на время. Формула похожа на связь пути, скорости и времени.
Дискриминант квадратного уравнения в 8 классе	$D=b^2-4ac$	Алгебра	Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 показывает, сколько действительных корней может иметь уравнение и какие дальнейшие действия нужны.
Корни квадратного уравнения через дискриминант	$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\quad D=b^2-4ac$	Алгебра	Формула корней квадратного уравнения находит значения x, при которых ax^2 + bx + c обращается в ноль. Она использует дискриминант и коэффициенты уравнения.
Теорема Виета для приведенного и полного квадратного уравнения	$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$	Алгебра	Теорема Виета связывает сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведенного уравнения сумма равна -p, произведение равно q.
Квадратный корень из произведения	$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b},\quad a\ge0,\;b\ge0$	Алгебра	Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению их квадратных корней. Условия a >= 0 и b >= 0 обязательны в действительных числах.
Квадратный корень из дроби	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge0,\;b>0$	Алгебра	Квадратный корень из дроби равен дроби из квадратных корней числителя и знаменателя, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.
Свойство степени с целым показателем	$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\ne0,\;n\in\mathbb{N}$	Алгебра	Степень с отрицательным целым показателем означает обратную величину к степени с положительным показателем. Основание при этом не должно быть нулем.
Логарифмическое уравнение с одинаковым основанием	$\log_a u=\log_a v\Rightarrow u=v$	Алгебра	Логарифмическое уравнение с одинаковым основанием: формула \log_a u=\log_a v\Rightarrow u=v помогает величины a, u, v заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Показательное уравнение с одинаковым основанием	$a^u=a^v\Rightarrow u=v$	Алгебра	Показательное уравнение с одинаковым основанием: формула a^u=a^v\Rightarrow u=v помогает величины a, u, v заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Параметры арифметической прогрессии по двум членам	$a_n=a_1+(n-1)d$	Алгебра	Параметры арифметической прогрессии по двум членам: формула a_n=a_1+(n-1)d помогает величины a_n, a_1, n, d заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Геометрическая прогрессия по двум известным членам	$b_n=b_1q^{n-1}$	Алгебра	Геометрическая прогрессия по двум известным членам: формула b_n=b_1q^{n-1} помогает величины b_n, b_1, q, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Перестановки с повторениями: одинаковые элементы	$P=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!},\qquad n_1+\cdots+n_r=n$	Графы, логика	Число различных упорядоченных записей из заданного набора элементов, среди которых есть одинаковые. Формула делит все перестановки на перестановки внутри каждой группы неразличимых элементов.
Сочетания с повторениями: метод звёзд и перегородок	$\overline C_n^k=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$	Графы, логика	Формула считает наборы из k элементов n видов, когда один вид разрешено выбирать несколько раз, а порядок выбора не важен. Эквивалентная задача — распределить k одинаковых предметов по n различимым ящикам.
Беспорядки: перестановки без неподвижных точек	$D_n=n!\sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^j}{j!}$	Графы, логика	Беспорядок — перестановка, в которой ни один элемент не остаётся на своём первоначальном месте. Формула включений и исключений считает такие перестановки и помогает находить вероятность полного несовпадения.
Числа Каталана: правильные скобочные последовательности	$C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$	Графы, логика	Число Каталана Cₙ считает правильные последовательности из n пар скобок одного вида. В каждом начальном фрагменте открывающих скобок должно быть не меньше закрывающих, а в полной записи их количества равны.
Числа Стирлинга второго рода: разбиение на группы	$S(n,k)=kS(n-1,k)+S(n-1,k-1)$	Графы, логика	Число Стирлинга второго рода S(n,k) показывает, сколькими способами можно разбить n различных элементов на k непустых неименованных групп. Рекурсия отделяет добавление элемента в старую группу от создания новой.
Числа Белла: все разбиения множества на группы	$B_n=\sum_{k=0}^{n}S(n,k),\qquad B_0=1$	Графы, логика	Число Белла считает все способы разделить различимые элементы на непустые непересекающиеся группы. Число групп заранее не задано, их порядок и порядок элементов внутри группы не учитываются.
Числа Стирлинга первого рода: циклы перестановки	$c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k)$	Графы, логика	Беззнаковые числа Стирлинга первого рода считают перестановки n различных элементов, состоящие ровно из k циклов. Рекурсия отделяет новый одноэлементный цикл от вставки элемента в существующий цикл.
Круговые перестановки: рассадка за круглым столом	$P_{\mathrm{circle}}(n)=\frac{n!}{n}=(n-1)!,\qquad n\ge1$	Графы, логика	Число круговых перестановок n различных объектов равно (n−1)!, если повороты всей расстановки считаются одинаковыми. Зеркальное отражение при этом обычно даёт другой порядок соседей.
Число сюръекций: распределение без пустых ящиков	$N(n,k)=k!S(n,k)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}(k-j)^n$	Графы, логика	Сюръективное отображение отправляет n различимых объектов в k различимых ящиков так, чтобы каждый ящик был занят. Формула считает такие распределения через числа Стирлинга или включения и исключения.
Формула Кэли: число деревьев с помеченными вершинами	$T_n=n^{n-2},\qquad n\ge2$	Графы, логика	Формула Кэли считает неориентированные деревья на заданных n различных вершинах: связные графы без циклов. Метки вершин сохраняются, а расположение рисунка на плоскости не создаёт новых деревьев.
Функция Эйлера: произведение по простым делителям	$\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1p\right)$	Арифметика и теория чисел	Функция Эйлера φ(n) считает положительные целые числа от 1 до n, взаимно простые с n. Для вычисления достаточно знать различные простые делители n: каждый входит в произведение ровно один раз.
Число делителей по разложению на простые множители	$n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \tau(n)=\prod_{i=1}^{r}(a_i+1)$	Арифметика и теория чисел	Число положительных делителей n равно произведению увеличенных на единицу показателей в его простом разложении. Каждый делитель получается независимым выбором допустимой степени каждого простого множителя.
Сумма делителей по простому разложению числа	$n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \sigma(n)=\prod_{i=1}^{r}(1+p_i+\cdots+p_i^{a_i})$	Арифметика и теория чисел	Сумма положительных делителей n получается перемножением сумм степеней каждого простого множителя от нуля до его показателя. В сумму входят единица и само число; для собственных делителей затем вычитают n.
Обратный элемент по модулю через расширенный алгоритм Евклида	$au+mv=1\quad\Longrightarrow\quad a^{-1}\equiv u\pmod m$	Арифметика и теория чисел	Обратный к a по модулю m — это остаток, произведение которого с a даёт единицу по модулю m. Расширенный алгоритм Евклида находит его как коэффициент при a в целочисленном равенстве Безу.
Китайская теорема об остатках для двух взаимно простых модулей	$x\equiv r+m\bigl((s-r)m^{-1}\bmod n\bigr)\pmod{mn}$	Арифметика и теория чисел	Китайская теорема об остатках восстанавливает общий класс чисел по остаткам r и s при делении на взаимно простые m и n. Решение существует для любой пары остатков и единственно по модулю произведения mn.
Распределение Пуассона: вероятность числа событий	$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$	Вероятность и статистика	Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью.
Геометрическое распределение: номер первого успеха	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$	Вероятность и статистика	Геометрическое распределение описывает число независимых попыток до первого успеха включительно. Вероятность успеха p остаётся одинаковой в каждой попытке, а предшествующие попытки заканчиваются неудачей.
Гипергеометрическое распределение: выбор без возвращения	$P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	Вероятность и статистика	Гипергеометрическая формула даёт вероятность выбрать ровно k объектов нужного типа среди n предметов, взятых без возвращения из N. В исходной совокупности ровно K объектов относятся к нужному типу.
Равномерное распределение: вероятность попасть в интервал	$P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a},\qquad a\le c\le d\le b$	Вероятность и статистика	Для непрерывного равномерного распределения на отрезке [a,b] вероятность попадания в его часть [c,d] равна отношению длин. Равные по длине части имеют одинаковые вероятности независимо от положения.
Экспоненциальное распределение: вероятность времени ожидания	$P(T>t)=e^{-\lambda t}$	Вероятность и статистика	Экспоненциальная модель даёт вероятность ждать событие дольше t при постоянной интенсивности λ. В отличие от счёта событий по Пуассону, случайной величиной здесь служит непрерывное время до ближайшего события.
Метод бисекции: корень и гарантированная точность	$c=\frac{a+b}{2},\qquad \|c-r\|\leq\frac{b-a}{2}$	Начала анализа	Метод бисекции ищет корень непрерывной функции делением отрезка пополам. Разные знаки на концах дают гарантию существования корня, а длина отрезка — оценку ошибки.
Метод Ньютона: приближение корня по касательной	$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$	Начала анализа	Метод Ньютона заменяет функцию касательной в текущем приближении и берёт нуль этой прямой как следующий шаг. Вблизи простого корня сходимость может быть квадратичной.
Метод секущих: поиск корня без вычисления производной	$x_{k+1}=x_k-f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$	Начала анализа	Метод секущих строит прямую по двум последним точкам графика и использует её пересечение с осью для нового приближения корня. Производная заменяется разностным наклоном.
Составная формула трапеций для вычисления интеграла	$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$	Начала анализа	Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.
Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам	$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$	Начала анализа	Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.