Все формулы РФ

Машиностроение / Передачи

Итоговое передаточное отношение многоступенчатой передачи

Для нескольких передач общего редуктора общее отношение берут как произведение по ступеням.

Опубликовано: Обновлено:

Детали машин

Формула

$$i_{\Sigma}=\prod_{k=1}^{m} i_k,\quad n_{\mathrm{out}}=\frac{n_{\mathrm{in}}}{i_{\Sigma}}$$
chart Последовательность ступеней редуктора

Графически показано, как каждая ступень последовательно уменьшает скорость.

Значения i на разных ступенях перемножаются до итогового отношения.

Обозначения

$i_{\Sigma}$
Общее передаточное отношение, безразмерное
$i_k$
Передаточное отношение k-й ступени, безразмерное
$m$
Количество ступеней, шт
$n_{\mathrm{in}}$
Входная скорость, об/мин
$n_{\mathrm{out}}$
Выходная скорость, об/мин

Условия применения

  • Все ступени должны быть описаны численно и быть совместимыми по тяге.
  • Передаточные числа берутся для каждого редукционного звена.
  • Режим работы должен быть согласован по всем ступеням.

Ограничения

  • При очень большом iₛ₋м в реальности возможны резонансы и ошибки распределения нагрузки.
  • Не заменяет проверку на прочность каждого вала и зубчатой пары.
  • Не учитывать если передаточная характеристика изменяется во времени.

Подробное объяснение

Итоговый коэффициент — это последовательное масштабирование скорости на каждой стадии, поэтому формально произведение.

Как пользоваться формулой

  1. Выпишите i по всем ступеням.
  2. Перемножьте их в порядке перемножения.
  3. Найдите выходную скорость по входной скорости.

Историческая справка

Подход широко применялся для многоступенчатых редукторов в машиностроении с момента массового внедрения редукторов с несколькими шестернями.

Пример

i₁=4, i₂=3, i₃=2 => iₛ=24; при n_in=1800 об/мин n_out=75 об/мин.

Частая ошибка

Характерная ошибка — складывать i вместо умножения на ступенях.

Практика

Задачи с решением

Двухступенчатый редуктор

Условие. i₁=5, i₂=4, n_in=2000 об/мин.

Решение. iΣ=20, n_out = 2000/20 = 100 об/мин.

Ответ. iΣ=20, n_out=100 об/мин.

Трёхступенчатый редуктор

Условие. i₁=3, i₂=2, i₃=2, n_in=1440 об/мин.

Решение. iΣ=3·2·2=12, n_out=1440/12=120 об/мин.

Ответ. iΣ=12, n_out=120 об/мин.

Дополнительные источники

  • Norton, R. L. (2020). Design of Machinery.
  • Shigley, R. L.; Mischke, C. R.; Budynas, J. K. (2015). Mechanical Engineering Design.

Связанные формулы

Машиностроение

Базовое передаточное отношение передачи

$i = \frac{n_1}{n_2}=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{D_2}{D_1}=\frac{z_2}{z_1}$

Передаточное отношение показывает во сколько раз меняется скорость вращения и крутящий момент между входным и выходным валами редуктора или другой кинематической цепи.

Машиностроение

Выходная скорость после передачи

$n_2=\frac{n_1}{i},\quad \omega_2=\frac{\omega_1}{i}$

Формула позволяет быстро определить выходную угловую скорость при известном передаточном отношении и скорости входа.

Машиностроение

Итоговый КПД многоступенчатой передачи

$\eta_{\Sigma}=\prod_{k=1}^{m} \eta_k,\quad P_{\mathrm{out}}=\eta_{\Sigma}P_{\mathrm{in}}$

Полный КПД передачи по нескольким ступеням — произведение коэффициентов отдельных звеньев.