Все формулы РФ

Физика / Механика

Модуль вектора по проекциям

Модуль вектора на плоскости равен квадратному корню из суммы квадратов его взаимно перпендикулярных проекций и показывает длину итоговой стрелки.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМеханикаМеханическое движениеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$
Прямоугольный треугольник Модуль как гипотенуза проекций
AxAyA

Сумма квадратов проекций дает квадрат длины вектора.

Обозначения

$A$
модуль вектора, единица величины A
$A_x$
проекция вектора на ось Ox, единица величины A
$A_y$
проекция вектора на ось Oy, единица величины A

Условия применения

  • Проекции Ax и Ay относятся к взаимно перпендикулярным осям.
  • Обе проекции записаны в одинаковых единицах измерения.
  • Рассматривается двумерный случай; для трех измерений добавляется третья проекция Az.

Ограничения

  • Формула не учитывает направление вектора: она дает только положительный модуль.
  • Если оси не перпендикулярны, обычная теорема Пифагора в таком виде не применяется.
  • Нельзя складывать проекции без квадратов, если требуется модуль наклонного вектора.

Подробное объяснение

Проекции вектора на прямоугольные оси образуют катеты прямоугольного треугольника, а сам вектор является его гипотенузой. Поэтому модуль находится по теореме Пифагора. Эта геометрическая идея позволяет переводить физическую задачу между двумя формами записи: векторной и координатной. Векторная запись удобна для понимания направления, а координатная - для вычислений.

В механике 10 класса формула особенно полезна при движении в плоскости. Например, скорость с горизонтальной составляющей 6 м/с и вертикальной 8 м/с не равна ни 6, ни 8, ни 14 м/с. Модуль показывает реальную длину стрелки скорости на рисунке. При этом проекции остаются самостоятельными физическими величинами: одна отвечает за изменение координаты x, другая - за изменение координаты y.

Формула также показывает, почему направление нельзя игнорировать. Две скорости с одинаковым модулем могут иметь разные проекции и приводить к разным траекториям. Сначала удобно решать движение по осям, а затем использовать корень из суммы квадратов, чтобы получить итоговый модуль. В трехмерных задачах правило расширяется естественно: A = sqrt(Ax^2 + Ay^2 + Az^2).

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что проекции заданы на взаимно перпендикулярные оси.
  2. Приведите все проекции к одинаковым единицам.
  3. Возведите каждую проекцию в квадрат.
  4. Сложите квадраты проекций.
  5. Извлеките квадратный корень и запишите положительный модуль.

Историческая справка

Связь между компонентами и модулем вектора опирается на теорему Пифагора и координатный метод. В физике эта геометрия стала особенно важной после того, как движение начали описывать численно по независимым направлениям. Галилей фактически использовал идею раздельного анализа горизонтального и вертикального движения при изучении броска тела. Ньютоновская механика закрепила необходимость работать с направленными величинами: сила, скорость, ускорение и импульс требуют учета направления, а координаты позволяют сделать вычисления точными. В школьной физике 10 класса формула модуля по проекциям соединяет геометрию и механику: она позволяет увидеть вектор как диагональ, а его проекции как измеримые вклады вдоль осей.

Историческая линия формулы

Формула модуля по проекциям является применением теоремы Пифагора к координатному описанию вектора. В механике ее исторически уместно связывать с развитием аналитического метода и с работами Галилея и Ньютона, а не с одним отдельным открытием.

Пример

Скорость тела имеет проекции vx = 6 м/с и vy = 8 м/с. Полный модуль скорости равен v = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10 м/с. Это означает, что тело движется быстрее, чем показывают отдельные проекции, потому что часть скорости направлена вдоль Ox, а часть вдоль Oy. Если бы ошибочно сложить 6 + 8, получилось бы 14 м/с, но это не длина диагонали, а сумма длин двух катетов. Правильный модуль находится как гипотенуза прямоугольного треугольника проекций, поэтому результат всегда проверяют по рисунку: диагональ должна быть длиннее каждого катета, но не равна их простой сумме.

Частая ошибка

Частая ошибка - складывать проекции как обычные числа и получать A = Ax + Ay. Так можно найти только сумму компонент вдоль выбранных осей, но не длину вектора. Вторая ошибка - терять знак проекций раньше времени: для модуля знак исчезает из-за квадрата, но при дальнейшей работе по осям знак нужен. Еще одна ошибка - применять формулу к неперпендикулярным направлениям, например к двум силам под произвольным углом; тогда требуется закон косинусов или разложение на прямоугольные оси.

Практика

Задачи с решением

Модуль скорости

Условие. Проекции скорости равны vx = 3 м/с и vy = 4 м/с. Найдите модуль скорости.

Решение. v = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5 м/с.

Ответ. 5 м/с

Равнодействующая сила

Условие. На тело действуют две перпендикулярные составляющие силы: Fx = 12 Н и Fy = -5 Н. Найдите модуль равнодействующей.

Решение. F = sqrt(12^2 + (-5)^2) = sqrt(144 + 25) = 13 Н. Знак Fy не влияет на модуль, но важен для направления.

Ответ. 13 Н

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods
  • ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по физике 2026, механика

Связанные формулы

Физика

Проекция вектора на ось

$A_x=A\cos\alpha$

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и положительным направлением этой оси.

Физика

Классическое сложение скоростей

$\vec v=\vec v' + \vec u$

В классической механике скорость тела относительно неподвижной системы равна сумме скорости тела относительно движущейся системы и скорости этой системы.

Физика

Средняя скорость движения

$v=\frac{s}{t}$

Средняя скорость показывает, какой путь тело в среднем проходит за единицу времени на выбранном участке движения, даже если внутри участка скорость менялась.